Derivata seconda per funzioni a due variabili

Note

Siano aperto e una funzione derivabile in con derivate parziali:

Anch’esse derivabili in . Definiamo le derivate parziali seconde di con:

Diciamo che è derivabile due volte:

• in se esistono le derivate parziali seconde in
• in se è derivabile due volte in ogni

Matrice Hessiana

Note

Se è derivabile due volte in , allora definiamo la matrice Hessiana di in come:

Funzioni di seconda classe

Note

Se è derivabile due volte in e tutte le sue derivate parziali sono continue, allora diciamo che è di classe in e scriviamo:

Teorema di Schwarz

Note

Sia aperto e , allora:

Cioè è una matrice simmetrica .

Teorema della formula di Taylor al secondo ordine

Note

Siano aperto, , . Vale la seguente formula:

Per . Ponendo e e considerando :

Per .

Forma quadratica

Note

Sia . Chiamiamo forma quadratica indotta della matrice Hessiana per la funzione definita da:

, .

Richiami alle forme quadratiche

Puoi vedere un richiamo alle forme quadratiche qui.

Estensione a funzioni in

Note

Sia aperto e sia derivabile in e tale che con siano derivabili. Definiamo le derivate parziali seconde di in come:

E la matrice Hessiana è:

Anche il teorema di Schwarz e lo sviluppo di Taylor si estendono allo stesso modo al caso .