Forme quadratiche

Sia una forma quadratica e la matrice dei coefficienti . Ponendo possiamo riscrivere la forma quadratica come

Se è una forma quadratica allora possiamo sempre scrivere la forma quadratica nella seguente forma, dove è una matrice simmetrica unica La matrice è unica ed è detta matrice di Gram di una forma quadratica.

Considero la quadrica Si scrive la matrice formata dai coefficienti

Sia una matrice simmetrica reale. Sia il numero di autovalori positivi di contati con la loro molteplicità geometrica e sia il numero di autovalori negativi contati con la loro molteplicità geometrica.
La coppia è detta segnatura della matrice .

La segnatura di una forma quadratica è riferita alla matrice di Gram, quindi molteplicità geometrica e algebrica sono equivalenti.

Dato il polinomio Il numero di variazioni di segno è il numero di tali che

Il numero di variazioni di un polinomio è il massimo numero di radici positive del polinomio. Se il polinomio ha solo radici reali allora il numero di variazioni è il numero di radici positive contato con la loro molteplicità.

Sia una forma quadratica su

1. Si dice che è nondegenere se il rango della sua matrice di Gram è .
2. Si dice che è semidefinita positiva se:
3. Si dice che è semidefinita negativa se
4. Si dice che è definita positiva se
5. Si dice che è definita negativa se
6. Si dice che è indefinita se esiste un vettore per cui

La traccia di una matrice quadrata di ordine è la somma degli elementi sulla diagonale principale della matrice:

Se è una matrice diagonalizzabile e sono i suoi autovalori allora

Data la forma quadratica con matrice di Gram Si ha che

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