Derivata seconda per funzioni a due variabili

Note

Siano $A\subseteq {\mathbb{R}}^2$ aperto e $f:A\to \mathbb{R}$ una funzione derivabile in $A$ con derivate parziali:

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\text{ e }\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$$

Anch’esse derivabili in $A$. Definiamo le derivate parziali seconde di $f$ con:

$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x,y)& :=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\right)\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y)& :=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\right)\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)& :=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(x,y)& :=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)\end{array}$$

Diciamo che $f$ è derivabile due volte:

• in $(x_0,y_0)$ se esistono le $4$ derivate parziali seconde in $(x_0,y_0)$
• in $A^{\prime }\subseteq A$ se $f$ è derivabile due volte in ogni $(x_0,y_0)\in A^{\prime }$

Matrice Hessiana

Note

Se $f$ è derivabile due volte in $(x_0,y_0)$, allora definiamo la matrice Hessiana di $f$ in $(x_0,y_0)$ come:

$$H_f(x_0,y_0):=\left(\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x,y)& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y)\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(x,y)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\left(\nabla \left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\right)\right)}^T\\ {\left(\nabla \left(\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\right)\right)}^T\end{array}\right)\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$$

Funzioni di seconda classe

Note

Se $f$ è derivabile due volte in $A$ e tutte le sue derivate parziali sono continue, allora diciamo che $f$ è di classe $c^2$ in $A$ e scriviamo:

$$f\in c^2(A)$$

Teorema di Schwarz

Note

Sia $A\subseteq {\mathbb{R}}^2$ aperto e $f\in c^2(A)$, allora:

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)\forall (x,y)\in A$$

Cioè $H_f(x,y)$ è una matrice simmetrica $\forall (x,y)\in A$.

Teorema della formula di Taylor al secondo ordine

Note

Siano $A\subseteq {\mathbb{R}}^2$ aperto, $f\in c^2(A)$, ${\overrightarrow{x}}_0\in A$. Vale la seguente formula:

$$f({\overrightarrow{x}}_0+\overrightarrow{h})=f({\overrightarrow{x}}_0)+⟨\nabla f({\overrightarrow{x}}_0),\overrightarrow{h}⟩+\frac{1}{2}⟨\overrightarrow{h},H_f({\overrightarrow{x}}_0)\cdot \overrightarrow{h}⟩+o(||\overrightarrow{h}|{|}^2)$$

Per $\overrightarrow{h}\to \overrightarrow{0}$. Ponendo $x_1=x_1^0+h_1$ e $x_2=x_2^0+h_2$ e considerando $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2)$:

$$\begin{array}{rl}f(\overrightarrow{x})& =f({\overrightarrow{x}}_0)+⟨\nabla f({\overrightarrow{x}}_0),\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0⟩+\frac{1}{2}(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0{)}^T\cdot H_f({\overrightarrow{x}}_0)\cdot (\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0)+o(||\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0|{|}^2)\\ & =f(x_1^0,x_2^0)+\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1^0,x_2^0)(x_1-x_1^0)+\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1^0,x_2^0)(x_2-x_2^0)\\ & +\frac{1}{2}\cdot \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}(x_1^0,x_2^0)(x_1-x_1^0{)}^2+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_2}(x_1^0,x_2^0)(x_1-x_1^0)(x_2-x_2^0)\\ & +\frac{1}{2}\cdot \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2^2}(x_1^0,x_2^0)(x_2-x_2^0{)}^2+o\left((x_1-x_1^0{)}^2+(x_2-x_2^0)\right)\end{array}$$

Per $\overrightarrow{x}(x_1,x_2)\to (x_1^0,x_2^0)={\overrightarrow{x}}_0$.

Forma quadratica

Note

Sia $f\in c^2(A)$. Chiamiamo forma quadratica indotta della matrice Hessiana $H_f({\overrightarrow{x}}_0)$ per ${\overrightarrow{x}}_0\in A$ la funzione $q:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ definita da:

$$\begin{array}{rl}q(h_1,h_2):& ={\left(\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\end{array}\right)}^T\cdot H_f({\overrightarrow{x}}_0)\cdot \left(\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\end{array}\right)\\ & =\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}(x_1^0,x_2^0)h_1^2+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_2}(x_1^0,x_2^0)h_1{h}_2+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2^2}(x_1^0,x_2^0)h_2^2\end{array}$$

$\forall (h_1,h_2)\in {\mathbb{R}}^2$, ${\overrightarrow{x}}_0=(x_1^0,x_2^0)$.

Richiami alle forme quadratiche

Puoi vedere un richiamo alle forme quadratiche qui.

Estensione a funzioni in ${\mathbb{R}}^n$

Note

Sia $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ aperto e sia $f:A\to \mathbb{R}$ derivabile in $A$ e tale che $\frac{\partial f}{\partial x_1}$ con $i=1,\cdots ,n$ siano derivabili. Definiamo le derivate parziali seconde di $f$ in $\overrightarrow{x}\in A$ come:

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}(\overrightarrow{x})=\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{\partial }{\partial x_i}(\overrightarrow{x})\right)\forall i,j\in \{1,\cdots ,n\}$$

E la matrice Hessiana è:

$$H_f(\overrightarrow{x})=\left(\begin{array}{ccc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}(\overrightarrow{x})& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_1}(\overrightarrow{x})\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_n}(\overrightarrow{x})& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n^2}(\overrightarrow{x})\end{array}\right)$$

Anche il teorema di Schwarz e lo sviluppo di Taylor si estendono allo stesso modo al caso $n>2$.