Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di studio previsti della scheda SUA-CdS, l’insegnamento ha il duplice obiettivo di fornire allo studente sia i principi fondamentali dell’algebra lineare, sia le applicazioni del metodo delle coordinate della geometria analitica. Si propone lo studio dei vettori geometrici, delle matrici e delle operazioni relative. Viene sviluppata la teoria dei sistemi lineari. Si considerano la costruzione e lo studio degli spazi vettoriali e delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Si forniscono le nozioni e i concetti fondamentali riguardanti autovalori e autovettori. Si tratta il prodotto scalare euclideo. Si approfondisce il metodo delle coordinate cartesiane nel piano e nello spazio, anche attraverso il calcolo vettoriale, e con particolari applicazioni allo studio di problemi riguardanti rette, piani, coniche e quadriche.
Ci si attende che lo studente conosca gli elementi fondamentali dell’algebra lineare, con particolare riferimento ai seguenti:
Ci si attende altresì la conoscenza del metodo delle coordinate cartesiane, con applicazioni particolari a:
Il docente si attende una comprensione che non sia limitata al solo enunciato di definizioni e di risultati, e alla risoluzione di esercizi standard, ma sia anche critica, in grado di distinguere differenti tipologie di problemi e di soluzioni, attraverso scelte consapevoli e giustificazione dei procedimenti seguiti. Ci si aspettano inoltre un’esposizione ben argomentata della teoria e un’adeguata correttezza nei calcoli.
MATRICI E VETTORI GEOMETRICI
Vettori geometrici. Algebra delle matrici. Rango e metodo di Gauss. Matrice inversa e algoritmo di Gauss-Jordan. Determinante, interpretazione geometrica, operazioni su righe e colonne, teorema di Binet.
SISTEMI LINEARI
Nozioni fondamentali. Forma matriciale di un sistema lineare. Teorema di Rouché-Capelli. Procedimenti di risoluzione di un sistema lineare. Sistemi lineari omogenei.
SPAZI VETTORIALI
Assiomi di spazio vettoriale. Sottospazi. Indipendenza lineare, generatori, basi, dimensione. Spazio delle righe, delle colonne, e nucleo di una matrice. Teorema di nullità più rango. Coordinate di un vettore rispetto a una base. Forma parametrica e cartesiana di un sottospazio. Somma e intersezione di sottospazi.
APPLICAZIONI LINEARI
Generalità, nucleo ed immagine. Applicazioni lineari iniettive, suriettive, isomorfismi. Composizione e applicazione inversa. Matrice rappresentativa di un'applicazione lineare. Matrice del cambio di base.
ENDOMORFISMI
Autovalori e autovettori. Interpretazione geometrica. Polinomio caratteristico. Endomorfismi diagonalizzabili. Matrici simili. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Criteri di diagonalizzabilità.
SPAZI EUCLIDEI
Prodotto scalare, norma, angolo e ortogonalità tra vettori. Prodotto scalare standard. Disuguaglianza di Schwarz, teorema di Carnot, disuguaglianza triangolare, teorema di Pitagora generalizzato. Basi ortogonali e ortonormali. Algoritmo di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale. Proiezioni ortogonali. Isometrie e matrici ortogonali. Endomorfismi simmetrici e matrici simmetriche. Diagonalizzazione ortogonale e teorema spettrale. Forme quadratiche. Matrici congruenti. Segnatura, teorema di Sylvester, classificazione delle forme quadratiche.
COORDINATE CARTESIANE E GEOMETRIA ANALITICA LINEARE
Sottospazi affini e giacitura. Parallelismo. Forma parametrica e cartesiana. Intersezione e distanza tra sottospazi affini. Punti, rette, piani nello spazio. Perpendicolarità tra rette e piani. Rette sghembe.
CONICHE E QUADRICHE
Generalità. Equazione in forma matriciale. Classificazione metrica e affine di coniche e quadriche. Riduzione in forma canonica. Considerazioni geometriche: centro, asse, vertice, rette e piani di simmetria, quadriche di rotazione.
Si richiede che lo studente abbia una buona conoscenza degli argomenti di matematica trattati nella scuola secondaria di secondo grado, incluse le nozioni di base di teoria degli insiemi. In maniera particolare si richiede la capacità di saper lavorare con i polinomi, di applicare le principali formule di trigonometria, di risolvere semplici equazioni, di saper utilizzare i metodi della geometria analitica nel piano.