Modelli non lineari tempo-invarianti a tempo continuo

Note

Nei modelli non lineari non vale il principio di sovrapposizione degli effetti, e pertanto non sono definibili movimento libero e forzato, non si può usare l’equazione di Lagrange, e quindi la stabilità dei movimenti non è caratterizzabile allo stesso modo.

È possibile usare il processo di linearizzazione per studiare questi modelli non lineari.

Linearizzazione

Note

Consideriamo un modello non lineare generico tempo-invariante:

$$\{\begin{array}{l}\stackrel{\circ }{x}=f(x,u)\\ y=g(x,u)\end{array}$$

Definiamo quindi una condizione di equilibrio tramite:

$$\stackrel{\circ }{x}=f(\overline{x},\overline{u})=0$$

In caso di più equilibri scegliamo un $\overline{x}$ da studiare e quindi la coppia di equilibrio $(\overline{x},\overline{u})$. A questo punto approssimiamo $f(x,u)$ e $g(x,u)$ tramite serie di Taylor al primo ordine:

$$\begin{array}{rl}f(x,u)& \simeq f(\overline{x},\overline{u})+\stackrel{A(\overline{x},\overline{u})}{\overbrace{\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(\overline{x},\overline{u})}}}(x-\overline{x})+\stackrel{B(\overline{x},\overline{u})}{\overbrace{\frac{\partial f}{\partial u}{|}_{(\overline{x},\overline{u})}}}(u-\overline{u})\\ g(x,u)& \simeq g(\overline{x},\overline{u})+\underset{C(\overline{x},\overline{u})}{\underbrace{\frac{\partial g}{\partial x}{|}_{(\overline{x},\overline{u})}}}(x-\overline{x})+\underset{D(\overline{x},\overline{u})}{\underbrace{\frac{\partial g}{\partial u}{|}_{(\overline{x},\overline{u})}}}(u-\overline{u})\end{array}$$

Definiamo quindi $\delta x=x-\overline{x}$, $\delta u=u-\overline{u}$ e $\delta y=y-\overline{y}$. E ricaviamo quindi:

$$\begin{array}{rl}\delta \stackrel{\circ }{x}& \simeq A(\overline{x},\overline{u})\delta x+B(\overline{x},\overline{u})\delta u\\ \delta y& \simeq C(\overline{x},\overline{u})\delta x+D(\overline{x},\overline{u})\delta u\end{array}$$

Che è un modello lineare.

Tutto questo è valido finché $\delta u$ e $\delta x$ sono piccoli. Tuttavia $\delta x$ è piccolo solamente se il modello linearizzato è asintoticamente stabile.

Si ha che l’equilibrio $(\overline{x},\overline{u})$ è asintoticamente stabile se $A(\overline{x},\overline{u})$ ha autovalori con $\text{Re}({\lambda }_i)<0$. Altrimenti risulta instabile se in $A(\overline{x},\overline{u})$ $\exists {\lambda }_i\text{t.c.}\text{Re}({\lambda }_i)>0$.

Se $\exists {\lambda }_i\text{t.c.}\text{Re}({\lambda }_i)=0$ allora è impossibile stabilire se si tratta di instabilità, stabilità o stabilità asintotica con il modello linearizzato senza approfondire.

Equilibri asintoticamente stabili

Gli equilibri asintoticamente stabili si dicono globali se $\forall x(\cdot )x(t)\to \overline{x}$, altrimenti si dicono locali se $\forall x(\cdot )\in X\text{ limitato}x(t)\to \overline{x}$.

Metodo grafico

Note

Il metodo grafico è un metodo per approfondire lo studio della stabilità nei casi scalari ($n=1$). Per farlo si studiano gli zeri e i segni della funzione $z=f(x,\overline{u})$. Gli $0$ rappresentano gli equilibri del sistema, mentre le aree positive/negative del grafico indicano la tendenza a crescere/decrescere verso gli equilibri.

Nello specifico si guardi qui.