EDO del primo ordine autonome

Note

Una EDO del primo ordine è autonoma se è nella forma:

$$y^{\prime }(x)=g(y(x))$$

Dove $g:B\to \mathbb{R}$ è una funzione continua nell’insieme $B\subseteq \mathbb{R}$ (cioè la EDO è in forma normale e a variabili separabili).

Tip

Se $y$ è soluzione di $y^{\prime }(x)=g(y(x))$ in un certo intervallo $(\lambda ,\beta )$, allora anche

$$z_c:=y(x+c)$$

È soluzione in $(\lambda -c,\beta +c)\forall c\in \mathbb{R}$.

Tip

Se $g$ è positiva (rispettivamente negativa) in un certo punto $\overline{y}\in B$, allora una soluzione $y:J\to B$ è passante per $\overline{y}$, cioè tale che $\exists \overrightarrow{x}$ con $y(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{y}$, sarà crescente (rispettivamente decrescente) in $\overrightarrow{x}$.

Punti di equilibrio

Note

Sia:

$$y^{\prime }(x)=g(y(x))$$

Gli zeri della funzione $g$ si dicono punti di equilibrio.

Costruzione del diagramma di fase

Note

Partiamo dal grafico di $g$: E disegniamo il diagramma in questo modo:

• Disegno una linea
• Indichiamo i punti di equilibrio
• Indichiamo con una freccia gli intervalli dove $g$ è positiva o negativa, rispettivamente.

Infine diciamo che un punto di equilibrio $\overline{y}$ è:

• stabile se entrambe le frecce puntano a $\overline{y}$
• instabile in caso contrario

Esempio di studio qualitativo di un EDO autonoma

Note

1. Verifichiamo che esiste unicamente e localmente soluzione per tutti i problemi di Cauchy associati alla EDO.
2. Troviamo i punti di equilibrio.
3. Verifichiamo la prolungabilità delle soluzioni
4. Disegniamo il diagramma di fase e deduciamo la monotonia delle soluzioni e la stabilità dei punti di equilibrio.
5. Studio del limite delle soluzioni agli estremi di definizione
6. Studio convessità/concavità soluzioni