Introduzione al corso

L'insegnamento si propone di fornire allo studente una solida conoscenza di alcuni argomenti dell'Analisi Matematica, con particolare riferimento a:

• calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili reali;
• serie di funzioni, di potenze e di Fourier;
• equazioni e sistemi di equazioni differenziali ordinarie.
  Gli argomenti verranno presentati privilegiando l’aspetto costruttivo, senza tuttavia rinunciare al rigore necessario ad un uso critico e consapevole degli strumenti matematici nei problemi di ingegneria e delle discipline applicate.

Le lezioni e le esercitazioni consentiranno allo studente di conoscere e comprendere i concetti fondamentali dei seguenti argomenti:

• calcolo infinitesimale e integrale in più variabili;
• serie di potenze e serie di Fourier;
• teoria delle equazioni differenziali ordinarie.
  Le lezioni e le esercitazioni consentiranno allo studente di applicare conoscenza e comprensione:
• al calcolo di limiti di funzioni in più variabili;
• al calcolo di derivate parziali di funzioni in più variabili e alle relative applicazioni (determinazione dell'equazione del piano tangente al grafico di una funzione di due variabili, calcolo di derivate direzionali, ottimizzazione, ...);
• al calcolo di integrali nel piano e nello spazio;
• alla discussione della convergenza di serie di potenze e serie di Fourier e alla risoluzione di problemi tramite il loro uso;
• alla risoluzione di equazioni differenziali ordinarie;
• allo studio delle proprietà qualitative di equazioni differenziali autonome.
  Il docente si attende una comprensione non limitata all'enunciazione di definizioni e risultati e alla risoluzione di esercizi standard, ma critica e in grado di distinguere le diverse situazioni e di compiere scelte consapevoli, giustificando i procedimenti seguiti.
  Si attende inoltre un'adeguata correttezza nei calcoli e un'esposizione ben argomentata della teoria.

• Curve in forma parametrica
  Curve piane e curve nello spazio. Curve regolari e regolari a tratti. Lunghezza di un arco di curva regolare. Integrale curvilineo di prima specie.

• Calcolo differenziale per funzioni di due (o più) variabili reali.
  Elementi di topologia nel piano e nello spazio: insiemi aperti, insiemi chiusi; frontiera di un insieme; insiemi limitati. Funzioni di due variabili reali: insieme di definizione, grafico, curve di livello. Limiti e continuità. Derivate parziali, gradiente, derivate direzionali. Differenziabilità, piano tangente, approssimazione lineare locale. Condizioni necessarie per la differenziabilità (continuità, derivabilità direzionale), formula del gradiente; teorema del differenziale totale. Funzioni composte e loro derivata. Cenni alle funzioni di tre o più variabili reali. Derivate seconde, teorema di Schwarz, matrice Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine. Ottimizzazione libera: punti stazionari, teorema di Fermat; criterio della matrice Hessiana. Cenni alle funzioni convesse. Ottimizzazione vincolata: metodo dei moltiplicatori di Lagrange; teorema di Weierstrass, massimizzazione e minimizzazione su insiemi compatti.

• Calcolo integrale per funzioni di più variabili (integrali doppi e tripli)
  Regioni semplici del piano. Integrale doppio su domini x-semplici o y-semplici: formule di riduzione, integrabilità delle funzioni continue. Proprietà ed applicazioni fisiche e geometriche (volume, massa, baricentro). Cambiamenti di variabili; matrice Jacobiana, coordinate polari. Integrale triplo di una funzione continua su una regione semplice di spazio. Formule di riduzione, integrazione per fili e per strati. Coordinate cilindriche e sferiche.

• Serie di potenze e serie di Fourier
  Serie di funzioni. Convergenza semplice e convergenza totale. Serie di potenze: raggio e cerchio di convergenza; serie di Taylor; serie esponenziale nel campo complesso. Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche. Coefficienti e serie di Fourier di una funzione periodica. Approssimazione in media quadratica. Identità di Bessel-Parseval. Funzioni regolari a tratti e convergenza puntuale di una serie di Fourier. Forma esponenziale della serie di Fourier. Proprietà di regolarità della somma di una serie di Fourier, relazioni tra regolarità di una funzione e decadimento dei suoi coefficienti di Fourier.

- Equazioni differenziali ordinarie e sistemi differenziali lineari: generalità e risoluzione esplicita
Modelli della meccanica classica, definizione di equazione differenziale di ordine n, equazioni in forma normale, soluzione; problema di Cauchy. Riduzione di un’equazione scalare di ordine n ad un sistema di n equazioni del I ordine. Equazioni differenziali non lineari del primo ordine risolvibili esplicitamente: equazioni a variabili separabili, equazioni di Bernoulli. Modelli della dinamica di popolazioni (Malthus, logistico). Equazioni differenziali lineari: principio di sovrapposizione, struttura dello spazio delle soluzioni dell’equazione omogenea e di quello dell’equazione completa. Integrale generale delle equazioni lineari del primo ordine. Equazioni lineari del secondo ordine omogenee: struttura e dimensione dello spazio delle soluzioni. Polinomio caratteristico, costruzione dell'integrale generale di un'equazione lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti. Equazioni complete: ricerca di una soluzione particolare mediante metodo di somiglianza. Vibrazioni libere, vibrazioni smorzate, vibrazioni forzate (in assenza di attrito). Sistemi differenziali lineari a coefficienti costanti: problema di Cauchy, principio di sovrapposizione e teorema di struttura dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo e di un sistema non omogeneo. Dimensione dello spazio delle soluzioni, sistema fondamentale di soluzioni, matrice Wronskiana. Risoluzione di sistemi lineari a coefficienti costanti con matrice diagonalizzabile: esponenziale di matrice; cenni al caso non diagonalizzabile.

• Teoria qualitativa delle equazioni differenziali ordinarie e sistemi autonomi
  Equazioni ordinarie del primo ordine in forma normale: teorema di esistenza ed unicità locale per il problema di Cauchy (sotto ipotesi di regolarità C^1), teorema di esistenza globale. Studi qualitativi di equazioni differenziali, diagramma di fase. Sistemi differenziali autonomi nel piano.

Conoscenza degli argomenti svolti nei corsi di Analisi Matematica 1 e di Geometria e algebra Lineare e capacità di interpretare e risolvere problemi ad essi correlati.

Gli appelli d'esame constano di una prova scritta, in cui lo studente dovrà dimostrare un’adeguata competenza sia nella parte di esercizi, sia nella parte di teoria. Durante le prove scritte non è possibile usare libri, appunti, calcolatrici e apparecchiature elettroniche in generale. La visione delle prove scritte corrette avrà luogo unicamente nell'orario comunicato dal docente. In casi particolari, su proposta del docente, l'esame potrà essere integrato con una prova orale.  Per sostenere le prove d'esame è obbligatoria l'iscrizione, da effettuarsi esclusivamente attraverso il sistema di registrazione online di ateneo, entro la scadenza indicata.