Siano aperto e una funzione derivabile in con derivate parziali: Anch'esse derivabili in . Definiamo le derivate parziali seconde di con:
Diciamo che è derivabile due volte:
in se esistono le derivate parziali seconde in
in se è derivabile due volte in ogni
Matrice Hessiana
Note
Se è derivabile due volte in , allora definiamo la matrice Hessiana di in come:
Funzioni di seconda classe
Note
Se è derivabile due volte in e tutte le sue derivate parziali sono continue, allora diciamo che è di classe in e scriviamo:
Teorema di Schwarz
Note
Sia aperto e , allora: Cioè è una matrice simmetrica .
Teorema della formula di Taylor al secondo ordine
Note
Siano aperto, , . Vale la seguente formula: Per . Ponendo e e considerando : Per .
Forma quadratica
Note
Sia . Chiamiamo forma quadratica indotta della matrice Hessiana per la funzione definita da: , .
Richiami alle forme quadratiche
Puoi vedere un richiamo alle forme quadratiche qui.
Estensione a funzioni in
Note
Sia aperto e sia derivabile in e tale che con siano derivabili. Definiamo le derivate parziali seconde di in come: E la matrice Hessiana è: Anche il teorema di Schwarz e lo sviluppo di Taylor si estendono allo stesso modo al caso .