Sottoinsiemi di uno spazio n-dimensionale

Punti di un sottoinsieme

Sia $E$ un sottoinsieme di ${\mathbb{R}}^n$, e sia ${\overrightarrow{x}}_0\in {\mathbb{R}}^n$:

• ${\overrightarrow{x}}_0$ si dice interno ad $E$ se

$$\exists r>0:B_r({\overrightarrow{x}}_0)\subseteq E$$

L’insieme dei punti interni di $E$ è indicato con $\text{Int}(E)$.

• ${\overrightarrow{x}}_0$ si dice di frontiera (o di bordo) ad $E$ se

$$\forall r>0:B_r({\overrightarrow{x}}_0)\cap E\ne \varnothing \text{ e }{B}_r({\overrightarrow{x}}_0)\cap E^C=B_r({\overrightarrow{x}}_0)\setminus E\ne \varnothing$$

L’insieme dei punti di frontiera formano la frontiera (o bordo) di $E$ ed è indicato con $\partial E$.

• ${\overrightarrow{x}}_0$ si dice esterno ad $E$ se:

$${\overrightarrow{x}}_0\notin E\text{ e }\exists r>0:B_r({\overrightarrow{x}}_0)\subseteq E^C$$

Tipologie di sottoinsiemi

Sia $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$. $E$ si dice:

• Aperto se $\forall \overrightarrow{x}\in E$ si ha che $\overrightarrow{x}$ è interno ad $E$, e quindi $E=\text{Int}(E)$.
• Chiuso se $E^C$ è aperto.

Possono esistere insiemi che non sono ne aperti ne chiusi: ${\mathbb{R}}^n$ e $\varnothing$ si considerano sia aperti che chiusi.

Chiusura

Chiamiamo chiusura $\overline{E}$ di un insieme $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$ l’insieme:

$$\overline{E}:=\text{Int}(E)\cup \partial E$$

La chiusura di un insieme è sempre un insieme chiuso, se $E$ è chiuso, allora la chiusura $\overline{E}=E$.

Punti di accumulazione

Note

Sia $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$ e ${\overrightarrow{x}}_0\in {\mathbb{R}}^n$. Diciamo che ${\overrightarrow{x}}_0$ è un punto di accumulazione per $E$ (punto di accumulazione) se $\forall n>0$ si ha che $(B_r({\overrightarrow{x}}_0)\cap E)\setminus \{{\overrightarrow{x}}_0\}\ne 0$.