Parametrizzazione del sostegno di una curva

Note

Siano $I$ e $J$ due intervalli in $\mathbb{R}$. Sia $\overrightarrow{r}:I\to {\mathbb{R}}^n$ una curva con sostegno $\gamma$ e sia $\phi :J\to I$ una funzione derivabile in $\text{Int}(J)$ e invertibile. Chiamiamo riparametrizzazione di $\gamma$ (relativa a $\phi$) la curva $\overrightarrow{v}:J\to {\mathbb{R}}^n$ definita come:

$$\overrightarrow{v}(s)=\overrightarrow{r}\circ \phi (s)=\overrightarrow{r}(\phi (s))\forall s\in J$$

$\phi$ viene detta cambiamento di variabile.

Tip

$\phi :J\to I$ derivabile in $\text{Int}(J)$ e invertibile implica che $\phi$ sia monotona, cioè strettamente crescente o strettamente decrescente.

Teorema dell'invarianza della lunghezza di una curva

Sia $\overrightarrow{r}:[a,b]\subseteq \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ una curva regolare con sostegno $\gamma$ e sia $\overrightarrow{v}:[c,d]\subseteq \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ una riparametrizzazione di $\gamma$ relativa al cambiamento di variabile $\phi :[c,d]\to [a,b]$, cioè:

$$\overrightarrow{v}(s)=\overrightarrow{r}\circ \phi (s)\forall s\in [c,d]$$

Abbiamo che:

$$\text{Lunghezza}(\overrightarrow{r}([a,b]))={\int }_c^d||\overrightarrow{v}{}^{\prime }(s)||\text{ d}s$$

Dimostrazione

Ricordiamo che siccome $\overrightarrow{r}$ è regolare, abbiamo che:

$$\text{Lunghezza}(\overrightarrow{r}([a,b]))={\int }_a^b||\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)||\text{ d}t$$

Usando la formula di derivazione di funzioni composte componente per componente otteniamo che

$$\begin{array}{rl}\forall s\in [c,d]\overrightarrow{v}{}^{\prime }(s)& =\left(\begin{array}{c}{v}_1^{\prime }(s)\\ ⋮\\ v_n^{\prime }(s)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(r_1(\phi (s)){)}^{\prime }\\ ⋮\\ (r_n(\phi (s)){)}^{\prime }\end{array}\right)=\\ & =\left(\begin{array}{c}{r}_1^{\prime }(\phi (s))\cdot {\phi }^{\prime }(s)\\ ⋮\\ r_n^{\prime }(\phi (s))\cdot {\phi }^{\prime }(s)\end{array}\right)\\ & ={\phi }^{\prime }(s)\left(\begin{array}{c}{r}_1^{\prime }(\phi (s))\\ ⋮\\ r_n^{\prime }(\phi (s))\end{array}\right)={\phi }^{\prime }(s)\overrightarrow{r}{}^{\prime }(\phi (s))\end{array}$$

E quindi:

$$||\overrightarrow{v}{}^{\prime }(s)||=||{\phi }^{\prime }(s)\overrightarrow{r}{}^{\prime }(\phi (s))||=|{\phi }^{\prime }(s)|\cdot ||\overrightarrow{r}{}^{\prime }(\phi (s))||$$

Eseguiamo quindi il cambio di variabile $t=\phi (s)$, che implica che $\text{d}t=\phi (s)\text{ d}s$ e per gli estremi di integrazione abbiamo due possibilità:

1. Se $\phi$ è crescente, allora $\phi (c)=a<b=\phi (d)$ e ${\phi }^{\prime }(s)\ge 0\forall s\in (c,d)$ e quindi:

$$||\overrightarrow{v}{}^{\prime }(s)||={\phi }^{\prime }(s)\cdot ||\overrightarrow{r}{}^{\prime }(\phi (s))||$$

In questo caso abbiamo che:

$${\int }_a^b||\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)||\text{ d}t={\int }_c^d||\overrightarrow{r}{}^{\prime }(\phi (s))||{\phi }^{\prime }(s)\text{ d}s={\int }_c^d||\overrightarrow{v}{}^{\prime }(s)||\text{ d}s$$

2. Se $\phi$ è decrescente, allora $\phi (c)=b>a=\phi (d)$ e ${\phi }^{\prime }(s)\le 0\forall s\in (c,d)$:

$$||\overrightarrow{v}{}^{\prime }(s)||={\phi }^{\prime }(s)\cdot ||\overrightarrow{r}{}^{\prime }(\phi (s))||$$

In questo caso abbiamo che:

$${\int }_a^b||\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)||\text{ d}t={\int }_d^c||\overrightarrow{r}{}^{\prime }(\phi (s))||(-{\phi }^{\prime }(s))\text{ d}s={\int }_c^d||\overrightarrow{v}{}^{\prime }(s)||\text{ d}s$$

Parametrizzazione come grafico

Note

Un sostegno $\gamma \subseteq {\mathbb{R}}^2$ si dice parametrizzabile come grafico di una funzione $f$ se esiste una funzione $f:I\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tale che $\gamma$ è il sostegno della curva definita da:

$$\overrightarrow{r}:I\subseteq \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$$

con:

$$\{\begin{array}{l}{r}_1(t)=t\\ r_2(t)=f(t)\end{array}\forall t\in I$$

Lunghezza d’arco

Note

Se $\overrightarrow{r}:[a,b]\to {\mathbb{R}}^n$ è una curva con sostegno $\gamma$, la lunghezza d’arco di $\overrightarrow{r}$ da $a$ a $t\in [a,b]$, è una funzione di $t$, definita da:

$$s(t):={\int }_a^t||\overrightarrow{r}{}^{\prime }(\tau )||\text{ d}\tau$$

Se $\overrightarrow{r}$ è regolare questa, è la formula della lunghezza del suo sostegno da $\overrightarrow{r}(a)$ a $\overrightarrow{r}(t)$. Quando l’integrale a destra nella formula esiste, mentre la lunghezza d’arco elementare, quando calcolabile, è la quantità:

$$\text{d}s=||\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)||\text{ d}t$$

Tip

Abbiamo che se la funzione lunghezza d’arco esiste, allora:

• $s$ è derivabile e invertibile (e quindi può essere considerato come cambiamento di variabile)
• possiamo riparametrizzare $\gamma$ ristretto alla lunghezza d’arco, che è anche detta parametro d’arco o ascissa curvilinea, cioè $\overrightarrow{v}(s)=\overrightarrow{r}(s^{-1}(s))$. Si può verificare che $||\overrightarrow{v}{}^{\prime }(s)||=1$ e $\overrightarrow{T}(s)=\overrightarrow{v}{}^{\prime }(s)$