Integrale curvilinea

Note

Sia $\overrightarrow{r}:[a,b]\subseteq \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^k$ con $k\ge 2$ una curva regolare con sostegno $\gamma$ e sia $f$ una funzione continua a valori reali su un sottoinsieme $A\subseteq {\mathbb{R}}^k$ contenente $\gamma$, cioè:

$$f:A\subseteq {\mathbb{R}}^k\to \mathbb{R}$$

Con $\gamma \subseteq A$. Si dice integrale di linea (o curvilineo) di $f$ lungo $\gamma$ il numero:

$${\int }_{\gamma }f\text{ d}s:={\int }_a^{b}f(\overrightarrow{r}(t))\cdot ||\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)||\text{ d}t$$