Funzioni a più variabili

Note

Sia $k\in \mathbb{N}$ e $A\subseteq {\mathbb{R}}^k:=\underset{k}{\underbrace{\mathbb{R}\times \cdots \times \mathbb{R}}}\text{ volte}$. Una funzione $f$ di $k$ variabili ha valori reali e una relazione che associa ad ogni $k$-upla $\overrightarrow{x}=(x_1,\cdots ,x_n)\in A$ un unico numero reale $f(\overrightarrow{x})$ o $f(x_1,\cdots ,x_k)$.

$$f:A\subseteq {\mathbb{R}}^k\to \mathbb{R}$$

E diciamo che $A$ è l’insieme di definizione o dominio di $f$. Il grafo di $f$ è definito come.

$$G(f):=\{(x_1,\cdots ,x_k,x_{k+1})\in {\mathbb{R}}^{k+1}\mid (x_1,\cdots ,x_k)\in A,x_{k+1}=f(\overrightarrow{x})\}$$

Osservazione

Per $k=2$ spesso implicheremo con $(x,y)$ o $(t,s)$ invece di $(x_1,x_2)$

Note

Si dice insieme di livello $c\in \mathbb{R}$ della funzione:

$$f:A\subseteq {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$$

L’insieme $I_C:=\{\overrightarrow{x}\in A:f(\overrightarrow{x})=c\}=f^{-1}(c)\subseteq A$

Classe di una funzione

Note

Sia $I\subseteq \mathbb{R}$ un intervallo aperto. Una funzione $f:I\to \mathbb{R}$ si dice di classe:

• $c^0$ su $I$, cioè $f\in c^0(I)$ se $f$ è continua su $I$
• $c^{\prime }$ su $I$, cioè $f\in c^1(I)$ se $f$ è derivabile su $I$ e $f^{\prime }$ è continua su $I$

Osserviamo che $f\in c^1(I)⟹f\in c^0(I)$.

Sia adesso $I\subseteq \mathbb{R}$ un intervallo aperto. Una funzione di variabile reale a valori vettoriali

$$\overrightarrow{f}:I\subseteq \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$$

definita $\forall t\in I$ da:

$$\overrightarrow{f}(t)=\left(\begin{array}{c}{f}_1(t)\\ ⋮\\ f_n(t)\end{array}\right)f_i:I\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}\forall i$$

Si dice di classe $c^{\alpha }(I;{\mathbb{R}}^n)$ per $\alpha =0,1$ se $f_i\in c^{\alpha }(I)\forall i,\cdots ,n$.