Curve in uno spazio n-dimensionale

Note

Una curva in ${\mathbb{R}}^n$ è definita da $n$ funzioni

$$r_1,\cdots ,r_n:I\subseteq \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$$

Dove $I\subseteq \mathbb{R}$ è un intervallo che può essere chiuso, aperto, semiaperto o illimitato. La curva si può scrivere come funzione vettoriale nel seguente modo:

$$\overrightarrow{r}=I\subseteq \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$$ $$\overrightarrow{r}(t)=\left(\begin{array}{c}{r}_1(t)\\ ⋮\\ r_n(t)\end{array}\right)=\sum _{i=1}^n{r}_i(t){\overrightarrow{e}}_i$$

Inoltre, ci si riferisce a:

$$\gamma :=\{(x_1,\cdots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n:\exists t\in I{r}_i(t)=x_i\forall i=1,\cdots ,n\}$$

Come al sostegno della curva.

Tip

Due curve con stesso sostegno sono dette equivalenti.

Diciamo che $\overrightarrow{r}:[a,b]\to {\mathbb{R}}^n$ con $a<b$ è:

• Chiusa se $\overrightarrow{r}(a)=\overrightarrow{r}(b)$
• Semplice se $\overrightarrow{r}$ ristretta all’intervallo aperto $(a,b)$ è iniettiva

$\overrightarrow{r}$ è continua in $t$ se e solo se $r_1,\cdots ,r_n$ sono continue in $t$.

Tip

Un insieme $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$ si dice connesso per archi se $\forall \overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in E$ esiste una curva continua $\overrightarrow{r}(t)$ con sostegno contenuto in $E$ e con estremi $\overrightarrow{x}$ e $\overrightarrow{y}$.

Limiti di curve

Note

Sia $\overrightarrow{r}:I\subseteq \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ una curva su un intervallo $I$, allora:

$$\begin{array}{rl}& \exists \underset{t\to t_0}{\lim }\overrightarrow{r}(t)=\overrightarrow{r}{}^0=\left(\begin{array}{c}{r}_1^0\\ ⋮\\ r_n^0\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^n\\ ⟺& \forall i=1,\cdots ,n\exists \underset{t\to t_0}{\lim }{r}_i(t)=r_i^0\in \mathbb{R}\\ ⟺& \exists \underset{t\to t_0}{\lim }||\overrightarrow{r}(t)-\overrightarrow{r}{}^0||=0\end{array}$$

È possibile estendere alle curve le proprietà dei limiti di funzioni in una variabile (unicità del limite, algebra dei limiti, …).

Curve regolari

Note

Sia $\overrightarrow{r}:I\subseteq \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ una curva definita su un intervallo aperto $I$. Diciamo che $\overrightarrow{r}$ è regolare se:

• $\overrightarrow{r}\in c^1(I;{\mathbb{R}}^n)$
• $\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)\ne 0\forall t\in I$

Oppure, Sia $I=[a,b]$ per $a<b$ e $\overrightarrow{r}:[a,b]\to {\mathbb{R}}^n$ sia una curva. Diciamo che $\overrightarrow{r}$ è regolare se $\overrightarrow{r}{|}_{(a,b)}$ è regolare.

Derivate di vettori

$$\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)=\left(\begin{array}{c}{r}_1^{\prime }(t)\\ ⋮\\ r_n^{\prime }(t)\end{array}\right)\forall t\in I$$

Curve regolari a tratti

Diciamo che una curva $\overrightarrow{r}:I\subseteq \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ è regolare a tratti se:

• $\overrightarrow{r}\in c^0(I;{\mathbb{R}}^n)$
• ad eccezione di un numero finito di $k\in \mathbb{N}$ punti $t_1,\cdots ,t_k\in I$ la curvatura è regolare.

Versore tangente

Note

Sia $\overrightarrow{r}:I\subseteq \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ una curva regolare. Chiamiamo versore tangente a $\overrightarrow{r}$ (o al sostegno di $\overrightarrow{r}$) il vettore $\overrightarrow{T}$ definito $\forall t\in I$ da:

$$\overrightarrow{T}(t)=\frac{\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)}{||\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)||}=\left(\begin{array}{c}\frac{{\overrightarrow{r}}_1{}^{\prime }(t)}{\sqrt{(r_1^{\prime }(t){)}^2+\cdots +(r_2^{\prime }(t){)}^2}}\\ ⋮\\ \frac{{\overrightarrow{r}}_n{}^{\prime }(t)}{\sqrt{(r_1^{\prime }(t){)}^2+\cdots +(r_2^{\prime }(t){)}^2}}\end{array}\right)$$

Lunghezza

Note

Sia $\overrightarrow{r}:I\subseteq \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ una curva regolare su un intervallo $I$ con sostegno $\gamma$. Si dica lunghezza di $\gamma$ (o lunghezza della curva) il numero:

$$\text{Lunghezza}(\gamma ):={\int }_I||\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)||\text{ d}t$$

Lunghezza di una curva regolare a tratti

Sia $I$ un intervallo in $\mathbb{R}$ con estremi $a,b\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ con $a<b$ e sia $\overrightarrow{r}:I\to {\mathbb{R}}^n$ una curvatura regolare a tratti con sostegno $\gamma$. Siano $t_1<\cdots <t_k\in I$ tali che $\overrightarrow{r}$ è regolare in $I\setminus \{t_1,\cdots ,t_k\}$. Si dice lunghezza (del sostegno) della curva:

$$\text{Lunghezza}(\gamma ):={\int }_a^{t_1}||\overrightarrow{r}{}^{\prime }||\text{ d}t+{\int }_{t_1}^{t_2}||\overrightarrow{r}{}^{\prime }||\text{ d}t+\cdots +{\int }_{t_k}^b||\overrightarrow{r}{}^{\prime }||\text{ d}t$$