Sistemi differenziali lineari omogenei

Note

Un SDL omogeneo è un sistema differenziale lineare definito come:

$$\overrightarrow{y}{}^{\prime }(t)=A(t)\cdot \overrightarrow{y}(t)t\in I$$

Integrale generale

Note

Sia $A:I\subseteq \mathbb{R}\to M_{n\times m}$ continua. L’integrale generale di

$$\overrightarrow{y}{}^{\prime }(t)=A(t)\cdot \overrightarrow{y}(t)t\in I$$

È uno spazio vettoriale di dimensione $n$, cioè si può scrivere come:

$${\overrightarrow{y}}_{\sigma }(t)=c_1{y}_{\sigma 1}(t)+\cdots +c_n{y}_{\sigma n}(t)t\in I$$

Con $\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^n$, dove $y_{\sigma 1},\cdots ,y_{\sigma n}$ sono $n$ soluzioni linearmente indipendenti. In particolare $\{y_{\sigma 1},\cdots ,y_{\sigma n}\}$ sono una base dello spazio delle soluzioni e vengono chiamate Sistema Fondamentale di Soluzioni (SFS).

Risoluzione esplicita con $A(x)\equiv A\in M_{n\times n}$

Per trovare $n$ soluzioni esplicitamente trattiamo due casi:

1. Con $A(x)\equiv A\in M_{n\times n}$ diagonalizzabile
2. Con $A(x)\equiv A\in M_{2\times 2}$ con due autovalori complessi e coniugati.

Caso 1

Data $A\in M_{n\times n}$ diagonalizzabile, un SFS per $\overrightarrow{y}{}^{\prime }(x)=A\overrightarrow{y}(x)$ per $x\in \mathbb{R}$ è

$${\overrightarrow{y}}_{\sigma i}=e^{{\lambda }_{i}x}{\overrightarrow{v}}_i$$

Dove $v_i$ sono autovettori relativi agli autovalori ${\lambda }_i$. Quindi l’integrale generale è:

$${\overrightarrow{y}}_{\sigma }(x)=\sum _{i=1}^n{c}_i{e}^{{\lambda }_{i}x}{\overrightarrow{v}}_{i}x\in \mathbb{R}{c}_1,\cdots ,c_n\in \mathbb{R}$$

Caso 2

Sia $A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ aventi autovalori complessi e coniugati $\lambda ,\overline{\lambda }\in \mathbb{C}$ con $\text{Im}(\lambda )\ne 0$. Sia $\overrightarrow{v}\in \mathbb{C}\times \mathbb{C}$ un autovettore associato a $\lambda$. Abbiamo che un SFS per il SDL omogeneo $\overrightarrow{y}{}^{\prime }(t)=A\overrightarrow{y}(t)$ è dato da:

$$y_{\sigma ,1}(t)=\text{Re}(e^{\lambda t}\overrightarrow{v})\text{ e }{y}_{\sigma ,2}(t)=\text{Im}(e^{\lambda t}\overrightarrow{v})$$

cioè l’integrale generale è:

$$y_{\sigma }(t)=c_1\text{Re}(e^{\lambda t}\overrightarrow{v})+c_2\text{Im}(e^{\lambda t}\overrightarrow{v})c_1,c_2\in \mathbb{R}$$

Richiamo di algebra lineare

Data $A\in M_{n\times n}$ è diagonalizzabile in $\mathbb{R}$ se è simile ad una matrice diagonale del tipo:

$$D=\left(\begin{array}{ccc}{d}_1& 0& 0\\ 0& \ddots & 0\\ 0& 0& d_n\end{array}\right)$$

Con $d_i\in \mathbb{R}$ con $\forall i=1,\cdots ,n$, cioè se esiste una matrice invertibile $D$ tale che $D=D^{-1}AP$. In genere $D$ è la matrice di autovalori di $A$ e $P$ è la matrice con i corrispondenti autovettori come colonne.

Possiamo indicare l’integrale generale di un SDL omogeneo in entrambi i casi visti in forma compatta utilizzando la nozione di matrice esponenziale.

Matrice Esponenziale

Sia $A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$. La matrice esponenziale $e^A$ è definita da:

$$e^A:=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{A^k}{k!}=I_{n\times n}+A+\frac{A^2}{2}+\frac{A^3}{6}+\cdots$$

Note

SIA $A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ diagonalizzabile con autovalori reali o complessi (siccome $A$ ha coefficienti reali, allora se ci sono autovalori complessi, sono presenti in coppie coniugate). Abbiamo che le colonne della matrice $e^{At}$ formano un SFS per il SDL omogeneo

$$\overrightarrow{y}{}^{\prime }(t)=A\overrightarrow{y}(t)$$

Ovvero l’integrale generale del SDL può essere scritto in forma compatta (matriciale) come:

$${\overrightarrow{y}}_{\sigma }(t)=e^{At}\cdot \overrightarrow{c}$$

con $\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^n$.

Matrice Wroskiana

Note

Date $n$ soluzioni $y_i:J\subseteq \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$, con $i=1,\cdots ,n$, chiamiamo matrice Wroskiana la matrice costruita affiancando i vettori colonna ${\overrightarrow{y}}_i(t)$, cioè:

$$W(t)=\left(\begin{array}{ccccc}{y}_1(t)& |& \cdots & |& y_{n(t)}\end{array}\right)x\in J$$

E si definisce determinante Wroskiano il suo determinante.

Tip

Data una matrice $A\in M_{n\times n}$ abbiamo che:

$$\det (A)\ne 0⟺\text{linearmente indipendente}$$

Quindi per verificare che $n$ soluzioni ${\overrightarrow{y}}_1,\cdots ,{\overrightarrow{y}}_n$ sono linearmente indipendenti, verifichiamo:

$$\exists t_0\in J|\det (W_{{\overrightarrow{y}}_i}(t_0))\ne 0$$

Determinante Wroskiano

Date $n$ soluzioni ${\overrightarrow{y}}_{\sigma i}:J\subseteq \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ con $i=1,\cdots ,n$ di

$$\overrightarrow{y}{}^{\prime }(x)=A(x)\cdot \overrightarrow{y}(x)$$

Se $\exists x_0\in J$ tale che $\det (W(x_0))\ne 0$, dove $W$ è la matrice Wroskiana associata a ${\overrightarrow{y}}_{\sigma i}$, con $i=1,\cdots ,n$, allora le funzioni ${\overrightarrow{y}}_{\sigma 1,},\cdots ,{\overrightarrow{y}}_{\sigma n}$, formano un SFS e l’integrale generale del SDL si può scrivere nella forma:

$$y_{\sigma }(x)=c_1{y}_{\sigma 1}(x)+\cdots +c_n{y}_{\sigma n}(x)=W(x)\cdot \overrightarrow{c}$$

Dove $\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^n$ è il vettore costante generico. Inoltre la soluzione del problema di Cauchy associato con la condizione $\overrightarrow{y}(x_0)={\overrightarrow{y}}_0$ per ${\overrightarrow{y}}_0\in {\mathbb{R}}^n$ è:

$$\overrightarrow{y}(x)=W(x)W^{-1}(x_0){\overrightarrow{y}}_0$$