Sistemi differenziali lineari non omogenei

Note

Un SDL non omogeneo è un sistema differenziale lineare definito come:

$$\overrightarrow{y}{}^{\prime }(t)=A(t)\cdot \overrightarrow{y}(t)+\overrightarrow{b}(t)t\in I$$

Teorema di struttura per SDL non omogenei

Note

Dati $A:I\subseteq \mathbb{R}\to M_{n\times n}$ e $\overrightarrow{b}:I\to {\mathbb{R}}^n$ continui, l’integrale generale del sistema completo:

$$\overrightarrow{y}{}^{\prime }(t)=A(t)\cdot \overrightarrow{y}(t)+\overrightarrow{b}(t)t\in I$$

è:

$$\overrightarrow{y}(t)={\overrightarrow{y}}_{\sigma }(t)+{\overrightarrow{y}}_p(t)$$

Dove ${\overrightarrow{y}}_{\sigma }(t)$ è l’integrale generale del SDL omogeneo associato e ${\overrightarrow{y}}_p(t)$ è una soluzione particolare del sistema completo.

Possiamo usare il metodo di somiglianza per trovare la soluzione particolare ${\overrightarrow{y}}_p$.

Generalizzando la formula dell’integrale generale nel caso omogeneo otteniamo:

$$\overrightarrow{y}(x)=W(x)\left(\int [w(s){]}^{-1}\cdot \overrightarrow{b}(s)\text{ d}s+\overrightarrow{c}\right)$$

In particolare, nel caso $A$ sia diagonalizzabile possiamo scrivere ${\overrightarrow{y}}_{\sigma }$ anche come:

$${\overrightarrow{y}}_{\sigma }(x)=e^{Ax}\cdot \overrightarrow{c}{}^{\prime }$$

Con $\overrightarrow{c}{}^{\prime }\in {\mathbb{R}}^n$, e quindi abbiamo che:

$$W(x)=c_0{e}^{Ax}$$

Con $c_0\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$. Quindi:

$$\overrightarrow{y}(x)=c_0{e}^{Ax}\left(\int {\left[c_0{e}^{As}\right]}^{-1}\cdot \overrightarrow{b}(s)\text{ d}s+\overrightarrow{c}\right)$$

Semplificando $c_0$ e usando un po di algebra otteniamo:

$$\overrightarrow{y}(x)=e^{Ax}\left(\int a^{-As}\cdot \overrightarrow{b}(s)\text{ d}s+\overrightarrow{c}\right)$$

Con $\overrightarrow{c}\in {\mathbb{R}}^n$ vettore costante.