Serie di funzioni trigonometriche

Note

Denotiamo come polinomio trigonometrico di ordine $n\in \mathbb{N}$ una funzione $P_n$ periodica di periodo $2\pi$ del tipo:

$$P_n(x):=a_0+\sum _{n=1}^n\left(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx)\right)$$

$a_0,a_n,b_n\in \mathbb{R}$ che vengono chiamati coefficienti del polinomio trigonometrico, definito $\forall x\in \mathbb{R}$. In particolare i polinomi trigonometrici con $a_0=0$ e tutti gli altri coefficienti nulli, tranne uno uguale a $1$. Cioè $\cos (nx)$ e $\sin (nx)$ $\forall n\in \mathbb{N}$, sono dette armoniche $n$-esime.

Ogni armonica $n$-esima è periodica di periodo $\frac{2\pi }{n}$ e quindi $P_n(x)$ è periodica di periodo $2\pi$. Inoltre le armoniche $\sin (nx)$ sono tutte funzioni dispari, e le armoniche $\cos (nx)$ sono tutte funzioni pari.

La somma, differenza e prodotto di due polinomi trigonometrici è ancora un polinomio trigonometrico. Abbiamo delle formule di ortogonalità delle armoniche $n$-esime:

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (nx)\cos (kx)\text{ d}x=\{\begin{array}{ll}0& \text{se }n\ne k\\ \pi & \text{se }n=k\end{array}\\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (nx)\sin (kx)\text{ d}x=\{\begin{array}{ll}0& \text{se }n\ne k\\ \pi & \text{se }n=k\end{array}\\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (nx)\cos (kx)\text{ d}x=0\forall n,k\in \mathbb{N}\end{array}$$

L’integrale del prodotto di due armoniche diverse è sempre nullo, mentre l’integrale del quadrato di una di queste è $\pi$ (osserviamo che il caso $n=0$ è eccezione, infatti otteniamo $2\pi$).

Serie trigonometriche

Note

Si definisce serie trigonometrica l’espressione

$$a_0+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx))$$

Dove $a_0,a_n,b_n\in \mathbb{R}$ sono assegnati e $x\in \mathbb{R}$.

Tip

Diciamo che una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ è periodica di periodo $T>0$ se $\forall x\in \mathbb{R}$ abbiamo che:

$$f(x+T)=f(x)$$

La proprietà di periodicità non implica alcuna regolarità. Stiamo quindi includendo anche funzioni discontinue.

In generale ci soffermeremo su funzioni $2\pi$-periodiche.

Coefficienti di Fourier

Note

Data $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ $2\pi$-periodica, definiamo i coefficienti di Fourier relativi a $f$ come i seguenti coefficienti:

$$\begin{array}{rl}{a}_0& :=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\text{ d}x\\ a_n& :=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (nx)\text{ d}x\\ b_n& :=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (nx)\text{ d}x\end{array}$$

$\forall n\in \mathbb{N}$, quando gli integrali sono ben definiti ed esistono finiti.

Calcolo dei coefficienti di Fourier

Se una funzione $2\pi$-periodica $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ è somma di una serie trigonometrica, cioè:

$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx))$$

Con $a_0,a_n,b_n\in \mathbb{R}$, con convergenza totale su $[-\pi ,\pi ]$, allora abbiamo che necessariamente $a_0,a_n,b_n$ sono i coefficienti di Fourier di $f\forall n\in \mathbb{N}$.

Dimostrazione

Assumiamo che $\exists a_0,a_n,b_n\in \mathbb{R}$ tale che:

$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx))$$

Con convergenza totale su $[-\pi ,\pi ]$.

Iniziamo con $a_0$ e calcoliamo:

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\text{ d}x& ={\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_0+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx))\text{ d}x\\ & ={\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_0\text{ d}x+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (nx)\text{ d}x+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (nx)\text{ d}x\\ & =a_0\cdot 2\pi +\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cdot 0)+\sum _{n=1}^{\infty }(b_n\cdot 0)=a_0\cdot 2\pi \end{array}$$

E quindi $a_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\text{ d}x$. Proseguiamo con il calcolo degli $a_k\forall k\in \mathbb{N}$:

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (kx)\text{ d}x& ={\int }_{-\pi }^{\pi }\left[a_0+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx))\right]\cos (kx)\text{ d}x\\ & =a_0{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (kx)\text{ d}x\begin{array}{c}\\ \\ +\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (nx)\cos (kx)\text{ d}x\\ +\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (nx)\cos (kx)\text{ d}x\end{array}\\ & \\ & =a_0\cdot 0+\sum _{\begin{array}{c}n=1\\ n\ne k\end{array}}^{\infty }{a}_n\cdot 0+a_k\cdot \pi +\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\cdot 0\\ & =a_k\cdot \pi \end{array}$$

E quindi $a_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (kx)\text{ d}x$.

Si procede analogamente per i coefficienti $b_{k}k\in \mathbb{N}$.

Serie di Fourier

Note

Data una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ $2\pi$-periodica chiamiamo polinomio di Fourier di ordine $n\in \mathbb{N}$ associato a $f$ il seguente polinomio trigonometrico:

$$F_m(x)=a_0+\sum _{n=1}^m(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx))$$

Con $a_0,a_n,b_n\in \mathbb{R}$ definiti come coefficienti di Fourier, mentre chiamiamo serie di Fourier di $f$ il limite (quando esiste):

$$\underset{m\to +\infty }{\lim }{F}_m(x)$$

Teorema di convergenza di una serie trigonometrica a partire dai coefficienti

Note

Data una serie trigonometrica:

$$a_0+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx))$$

Con $a_0,a_n,b_n\in \mathbb{R}\forall n\in \mathbb{N}$ abbiamo che:

• Se la serie numerica di termine generale $|a_n|+|b_n|$ (considerata per indici $n\in \mathbb{N}$) è convergente, allora la serie trigonometrica converge totalmente in $\mathbb{R}$. Inoltre la somma è continua ed è possibile integrare termine a termine (su intervalli limitati), cioè:

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{x_0}^x{a}_0+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos (ns)+b_n\sin (ns))\text{ d}s\\ =& a_0(x-x_0)+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_n{\int }_{x_0}^x\cos (ns)\text{ d}s+b_n{\int }_{x_0}^x\sin (ns)\text{ d}s\right]\forall x,x_0\in \mathbb{R}\end{array}$$

• Se la serie numerica di termine generale $n(|a_n|+|b_n|)$ (considerata per indici $n\in \mathbb{N}$) è convergente, allora la somma della serie trigonometrica è derivabile, e la derivata è data dalla serie delle derivate (derivazione termine a termine), cioè:

$$\begin{array}{rl}& \frac{\text{ d}}{\text{ d}x}\left[a_0+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx))\text{ d}x\right]\\ =& \sum _{n=1}^{\infty }n[-a_n\sin (nx)+b_n\cos (nx)]\end{array}$$

La condizione nel secondo caso è più forte della condizione nel primo caso. Inoltre c’è una differenza rispetto a quanto visto per le serie di potenze, che sono integrabili e derivabili $\infty$ volte senza richiedere ulteriori condizioni aggiuntive.

Siccome la derivata è ancora una serie trigonometrica, possiamo iterare il teorema:

• se $\sum n^2(|a_n|+|b_n|)$ è convergente, allora la somma della serie trigonometrica è derivabile 2 volte con derivata seconda calcolata termine a termine.
• Genericamente, se $\sum _{n=1}^{\infty }{n}^{\alpha }(|a_n|+|b_n|)$ è convergente con $\alpha >2$, allora la somma della serie trigonometrica è derivabile $\alpha$ volte.

Teorema di convergenza puntuale delle serie di Fourier

Note

Sia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ $2\pi$-periodica e regolare a tratti in $[-\pi ,\pi ]$. Allora la serie di Fourier converge puntualmente in tutto $\mathbb{R}$. In particolare, sia $F_m(x)$ il polinomio di Fourier di ordine $m\in \mathbb{N}$ associato a $f$, allora:

$$\underset{m\to \infty }{\lim }{F}_m(x)=\frac{1}{2}\left(\underset{s\to x^{+}}{\lim }f(s)+\underset{s\to x^{-}}{\lim }f(s)\right)$$

E quindi, se $f$ è continua in $x$, allora:

$$\underset{m\to \infty }{\lim }{F}_m(x)=f(x)$$

Funzioni regolare a tratti

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$. Diciamo che $f$ è regolare a tratti in $[a,b]$ se esiste un numero finito $N$ di punti $a=x_1<x_2<\cdots <x_N=b$, cioè una partizione dell’intervallo $[a,b]$ tale che:

• $f$ è continua in $(x_i,x_{i+1})\forall i=1,\cdots ,N-1$ ed esistano finiti i limiti:

$$\underset{x\to x_i^{+}}{\lim }f(x)\underset{x\to x_{i+1}^{-}}{\lim }f(x)$$

• $f$ è derivabile in $(x_i,x_{i+1})\forall i=1,\cdots ,N-1$ ed esistano finiti i limiti:

$$\underset{x\to x_i^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(x)\underset{x\to x_{i+1}^{-}}{\lim }{f}^{\prime }(x)$$

Teorema di convergenza totale della serie di Fourier e integrabilità

Note

Sia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ $2\pi$-periodica e regolare a tratti in $[-\pi ,\pi ]$. Se $f$ è continua in $\mathbb{R}$, allora la serie di Fourier di $f$ converge totalmente a $f$ in tutto $\mathbb{R}$ e vale la formula di integrabilità termine a termine negli intervalli limitati.

Derivabilità della serie di Fourier

Note

Sia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ $2\pi$-periodica e tale che:

• $f$ sia derivabile su $\mathbb{R}$
• $f^{\prime }$ è regolare a tratti in $[-\pi ,\pi ]$
• $f^{\prime }$ continua

Allora la serie di Fourier di $f$ è derivabile su $\mathbb{R}$ termine a termine.

Convergenza in media

Note

Data una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ $2\pi$-periodica si dice che la serie di Fourier associata a $f$ converge in norma (o in media) quadratica a $f$ se:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x)-F_n(x){|}^2\text{ d}x=0$$

Dove $F_n$ è il polinomio di Fourier di ordine $n\in \mathbb{N}$.

Identità di Bessel-Parseval

Note

Sia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ $2\pi$-periodica e regolare a tratti in $[-\pi ,\pi ]$. Abbiamo che se i seguenti asserti sono verificati:

• La serie di Fourier di $f$ converge sempre in norma quadratica.
• Se indichiamo con $a_0,a_n,b_n$ i coefficienti di Fourier di $f\forall n\in \mathbb{N}$, allora vale la seguente identità detta identità di Bessel-Parseval:

$$2a_0^2+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x){|}^2\text{ d}x$$