Ottimizzazione vincolata

Note

Sia $A\subseteq {\mathbb{R}}^2$ aperto e $f,F\in c^1(A)$. Sia $Z$ l’insieme di livello $0$ di $F$, cioè $Z=I_0^F$, o esplicitamente:

$$Z=\{(x,y)\in A:F(x,y)=0\}$$

Che viene chiamato vincolo dell’ottimizzazione. Dato ${\overrightarrow{x}}_0=(x_0,y_0)\in Z$ abbiamo che:

• ${\overrightarrow{x}}_0$ è un punto di massimo (rispettivamente di minimo) locale o relativo di $f$ vincolato a $z$ se $\exists \delta >0$ tale che:

$$f(x_0,y_0)\ge f(x,y)(of(x_0,y_0)\le f(x,y))$$

$\forall (x,y)\in B_{\delta }({\overrightarrow{x}}_0)\cap Z$ e $f({\overrightarrow{x}}_0)$ si dice massimo (rispettivamente minimo) locale o relativo di $f$ vincolato a $Z$.

• ${\overrightarrow{x}}_0$ è un punto di massimo (rispettivamente di minimo) assoluto o globale di $f$ se:

$$f(x_0,y_0)\ge f(x,y)(of(x_0,y_0)\le f(x,y))$$

$\forall (x,y)\in Z$ e $f({\overrightarrow{x}}_0)$ si dice massimo (rispettivamente minimo) assoluto o globale di $f$ vincolato a $Z$.

• ${\overrightarrow{x}}_0$ è un punto esternale o di estremo relativo vincolato a $Z$ se è punto di massimo o minimo locale vincolato a $Z$.

SI parla di ottimizzazione vincolata di $f$ con vincolo $Z$ per indicare la ricerca dei punti esternali di $f$ vincolati a $Z$.

Metodo per sostituzione

Note

1. Considerare la funzione $g$ di una variabile ottenuta “restringendo $f$ a $z$”
2. Esprimere il vincolo come curva dipendente da una delle coordinate: $y=h(x)$ e $x=h^{\prime }(y)$
3. Definiamo $g(x)=f(x,h(x))$ o $g(y)=f(h^{\prime }(y),y)$
4. Studio la funzione $g$ come funzione in una variabile nel suo dominio e trovo i suoi punti estremali.
5. Consideriamo tutti i punti $(x_0,h(x_0))$ dove $x_0$ è stato trovato al passo precedente (è equivalente se avessimo esplicitato $y$ con $h^{\prime }$) e valutiamo l’immagine di $f$ in tali punti.

Teorema dei moltiplicatori di Lagrange

Note

Sia $A\subseteq {\mathbb{R}}^2$ aperto e siano $f,F\in C^1(A)$. Inoltre, sia $(x_0,y_0)\in A$ un punto di estremo di $f$ vincolato al vincolo $Z=\{(x,y)\in A:F(x,y)=0\}$. Se $\nabla F(x_0,y_0)\ne 0$, allora esiste ${\lambda }_0\in \mathbb{R}$, detto moltiplicatore di Lagrange, tale che:

$$\nabla f(x_0,y_0)={\lambda }_0\nabla F(x_0,y_0)$$

Tip

Il teorema ci fornisce una condizione necessaria per un punto ad essere punto estremale vincolato, cioè

$$\nabla f({\overrightarrow{x}}_0)\parallel \nabla F({\overrightarrow{x}}_0)$$

Inoltre, possiamo riscrivere la condizione necessaria insieme al fatto che $(x_0,y_0)$ è sul vincolo come un sistema non lineare nelle tre incognite $(x_0,y_0,{\lambda }_0)$:

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)={\lambda }_0\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0)\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)={\lambda }_0\frac{\partial F}{\partial >y}(x_0,y_0)\\ F(x_0,y_0)=0\end{array}$$

In particolare, questo sistema lineare viene spesso riscritto in forma compatta come:

$$\nabla L(x_0,y_0,{\lambda }_0)=\overrightarrow{0}$$

Dove $L$ è una funzione in $3$ variabili detta Lagrangiana definita da:

$$L(x,y,\lambda ):=f(x,y)-\lambda F(x,y)$$

Vincoli con disuguaglianza

Note

Sia $f:A\subseteq {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ definita continua su $A$ con $A$ insieme chiuso e limitato.

1. Osserviamo che siccome $f$ è continua e $A$ è chiuso e limitato esistono i punti di massimo e minimo assoluti di $f$ in $A$ (teorema di Weierstrass)
2. Escludo per il momento il bordo $\partial A$ di $A$ e considero $\text{Int}(A)$. Usando il teorema di Fermat applico quanto detto per l’ottimizzazione libera, cioè:

• Cerco i punti critici $P_1,\cdots ,P_k$ con $k\in {\mathbb{N}}_0=\mathbb{N}\cup \{0\}$ di $f$ in $\text{Int}(A)$ e eventualmente applico il criterio dell’Hessiana per classificarli.
• Se $f$ non è derivabile ovunque, identifico anche i punti di non derivabilità di $f$, che indico con $Q_1,\cdots ,Q_n$ con $n\in {\mathbb{N}}_0$

3. Cerco i punti sul bordo di $A$ come punti estremali di $f$ vincolati al vincolo $Z=\partial A$ utilizzando le strategie dell’ottimizzazione vincolata e trovo i punti $R_1,\cdots ,R_p\in Z$ con $p\in {\mathbb{N}}_0$
4. Confronto i valori delle immagini di tutti i punti trovati nei passi precedenti:

$$\begin{array}{rl}\underset{\overrightarrow{x}\in A}{\max }f(\overrightarrow{x})& =\max \{f(P_1),\cdots ,f(P_k),f(Q_1),\cdots ,f(Q_n),f(R_1),\cdots ,f(R_p)\}\\ \underset{\overrightarrow{x}\in A}{\min }f(\overrightarrow{x})& =\min \{f(P_1),\cdots ,f(P_k),f(Q_1),\cdots ,f(Q_n),f(R_1),\cdots ,f(R_p)\}\end{array}$$

E ci ricordiamo di scrivere i punti dove $f$ raggiunge il massimo e il minimo come punti di massimo e minimo, rispettivamente.