Ottimizzazione per funzioni a due variabili

Punti critici

Note

Sia $A\subseteq {\mathbb{R}}^2$ aperto e sia $f:A\to \mathbb{R}$ derivabile in ${\overrightarrow{x}}_0\in A$. Osserviamo che ${\overrightarrow{x}}_0$ è un punto critico se:

• Il piano tangente è orizzontale, in quanto è dato da:

$$z=f({\overrightarrow{x}}_0)+⟨\nabla f({\overrightarrow{x}}_0,\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0)=f({\overrightarrow{x}}_0)\overrightarrow{x}\in {\mathbb{R}}^2,z\in \mathbb{R}$$

• La formula di Taylor al secondo ordine diventa:

$$f({\overrightarrow{x}}_0+\overrightarrow{h})-f({\overrightarrow{x}}_0)=\frac{1}{2}q(\overrightarrow{h})+o(||\overrightarrow{h}|{|}^2)$$

Caso generico

Sia $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ aperto e sia $f:A\to \mathbb{R}$ derivabile in ${\overrightarrow{x}}_0\in A$. Diciamo che ${\overrightarrow{x}}_0$ è un punto critico o stazionario di $f$ se:

$$\nabla f({\overrightarrow{x}}_0)=0$$

Punti di massimo e minimo

Note

Sia $A\subseteq {\mathbb{R}}^2$ e sia $f:A\to \mathbb{R}$. Un punto $\overrightarrow{x}=(x_0,y_0)$ in $A$ si dice:

• Punto di massimo (o di minimo) locale o relativo di $f$ se $\exists \delta >0$ tale che:

$$f(x_0,y_0)\ge f(x,y)(\text{ o }f(x_0,y_0)\le f(x,y))$$

$\forall (x,y)\in B_{\delta }(x_0,y_0)\cap A$ e $f(x_0,y_0)$ si dice massimo (o minimo) locale o relativo di $f$.

• Punto di massimo (o di minimo) assoluto o globale se:

$$f(x_0,y_0)\ge f(x,y)(\text{ o }f(x_0,y_0)\le f(x,y))$$

$\forall (x,y)\in A$ e $f(x_0,y_0)$ si dice massimo (o minimo) assoluto o globale di $f$.

Tip

Il valore del massimo (o minimo) assoluto di $f$ è unico, se esiste, mentre i punti di massimo (o minimo) assoluto possono essere molti.

Punto estremante

Note

Se $(x_0,y_0)$ è un punto di massimo o minimo locale, allora è detto punto estremante o punto di estremo relativo di $f$. Inoltre, se $(x_0,y_0)$ è un punto critico di $f$ che non è estremante allora si dice punto di sella di $f$.

Teorema di Weierstrass

Note

Sia $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ un insieme chiuso e limitato e sia $f:A\to \mathbb{R}$ una funzione continua. Allora $f$ ammette massimo e minimo assoluti in $A$, cioè $\exists {\overrightarrow{x}}_m,{\overrightarrow{x}}_M\in A$ tali che:

$$f({\overrightarrow{x}}_m)\le f(\overrightarrow{x})\le f({\overrightarrow{x}}_M)\forall x\in A$$

E quindi ne segue che $f$ è limitata.

Teorema degli zeri

Note

Sia $A$ un insieme connesso per archi in ${\mathbb{R}}^n$ e sia $f:A\to \mathbb{R}$ continua. Se $f(\overrightarrow{x})>0$ e $f(\overrightarrow{y})<0$ per due punti $\overrightarrow{x}$ e $\overrightarrow{y}$ in $A$, allora $\exists \overrightarrow{z}\in A$ tale che $f(\overrightarrow{z})=0$.