Note
Si parla di ottimizzazione libera quando si cercano i punti estremali di
nel suo dominio.
Teorema di Fermat
Note
Sia
un insieme aperto e sia derivabile in . Se è un punto estremale relativo di , allora: Cioè
è un punto critico di .
Criterio della matrice Hessiana
Note
Siano
aperto, e punto critico di . sia la forma quadratica indotta dalla matrice Hessiana . Abbiamo che:
- Se
è definita positiva, allora è punto di minimo locale. - Se
è definita negativa, allora è punto di massimo locale. - Se
è indefinita, allora è punto di sella.
Dimostrazione
Verifichiamo il primo caso (il secondo è analogo). La matrice Hessiana
è:
- Simmetrica: grazie al teorema di Schwarz siccome
. - Ha tutti gli autovalori reali e positivi, siccome
è definita positiva. Ne deduciamo che:
Dove
è il minimo degli autovalori di . Inoltre, dato che è punto critico di , dalla formula di Taylor al secondo ordine otteniamo che: Per
, dove nella disuguaglianza abbiamo applicato la formula precedente. Per la definizione di o piccolo abbiamo che: E quindi
tale che se e , allora: Dove
grazie alla seconda ipotesi. Quindi in particolare tale che abbiamo che: Pertanto dalle formule precedenti possiamo concludere che
tale che , che implica che è punto di minimo locale di .
Criterio esplicito della matrice Hessiana nel caso
Siano
aperto, e punto critico di . Sia la matrice Hessiana di nel punto . Abbiamo che:
- Se
e , allora è un punto di minimo locale di . - Se
e , allora è un punto di massimo locale di . - Se
, allora è punto di sella di . - Se
il criterio non fornisce informazioni, possiamo usare l’indagine diretta o il controllo per convessità/concavità. Inoltre, se
, ma , valgono gli stessi assetti con al posto .
Indagine diretta
Note
Questa strategia consiste nel trovare due curve passanti per il punto critico su cui le restrizioni di
hanno in un caso un massimo e nell’altro un minimo, in maniera tale da concludere che il punto critico è u punto di sella.
Controllo per convessità/concavità
Note
Sia
. Diciamo che è convessa (rispettivamente concava) se la matrice Hessiana è definita positiva o semi-definita positiva (rispettivamente definita negativa o semi-definita negativa). Sia
e un punto critico di , abbiamo che:
- Se
è convessa su , allora è un punto di minimo assoluto - Se
è concava su , allora è un punto di massimo assoluto