Limiti e continuità di funzioni a più variabili

Note

Siano $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ un insieme aperto, ${\overrightarrow{x}}_0\in A$ e $f$ una funzione a valori reali definita su $A$ (con al più il punto ${\overrightarrow{x}}_0$ mancante). Diciamo che $f$ tende al limite $l\in \mathbb{R}$ per $\overrightarrow{x}$ che tende a ${\overrightarrow{x}}_0$ e scriviamo:

$$\underset{\overrightarrow{x}\to {\overrightarrow{x}}_0}{\lim }f(\overrightarrow{x})=l$$

Se e solo se per ogni $\epsilon >0$ esiste $\delta >0$ tale che $|f(\overrightarrow{x})-l|<\epsilon$ per ogni $\overrightarrow{x}\in B_{\delta }({\overrightarrow{x}}_0)\setminus \{{\overrightarrow{x}}_0\}$.

Teorema per le maggiorazioni con funzioni radiali

Note

Sia ${\overrightarrow{x}}_0\in A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ con $A$ aperto, e sia $f$ una funzione a valori reali definita su $A\setminus \{{\overrightarrow{x}}_0\}$ e sia $l\in \mathbb{R}$. Se $\exists g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ tale che $g(r)\to 0$ per $r\to 0$ e:

$$|f(\overrightarrow{x})-l|\le g(|\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0|)$$

Per ogni $\overrightarrow{x}\in A\setminus \{{\overrightarrow{x}}_0\}$, allora:

$$\exists \underset{\overrightarrow{x}\to {\overrightarrow{x}}_0}{\lim }f(\overrightarrow{x})=l$$

Metodo delle coordinate polari

Note

Sia $f:A\subset {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$, per valutare il limite ${\lim }_{\overrightarrow{x}\to \overrightarrow{x_0}}f(x,y)$, dove $x_0=\overrightarrow{0}$:

1. Cerchiamo il candidato limite $l$ utilizzando i percorsi particolari (se troviamo candidati diversi concludiamo che il limite non esiste per l’unicità del limite).
2. Scriviamo $f$ in coordinate polari:

$$\tilde{f}(\rho ,\theta ):=f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )$$

3. Troviamo $g$ del teorema maggiorando $\tilde{f}$:

$$|\underset{\text{Passo 2}}{\underbrace{\tilde{f}(\rho ,\theta )}}-\underset{\text{passo 1}}{\underbrace{l}}|\le g(\rho )$$

4. Verifichiamo che ${\lim }_{\rho \to 0}g(\rho )=0$.
5. Deduciamo quindi il limite.

Se ${\overrightarrow{x}}_0\ne \overrightarrow{0}$, allora bisogna applicare i passaggi alla funzione $h(\overrightarrow{x})=f(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0)$.

Limite ad infinito

Note

Sia $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$. Si dice limite di $f$ per $||\overrightarrow{x}||\to \infty$ è $+\infty$ (rispettivamente $-\infty$) se $\forall k>0\exists R>0$ tale che $f(\overrightarrow{x})>k$ (rispettivamente $f(\overrightarrow{x})<-k$) $\forall \overrightarrow{x}\in {\mathbb{R}}^n$ con $||\overrightarrow{x}||>R$.

Continuità

Note

Sia ${\overrightarrow{x}}_0\in A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ con $A$ aperto e $f:A\to \mathbb{R}$. Diciamo che $f$ è continua in ${\overrightarrow{x}}_0$ se:

$$\exists \underset{\overrightarrow{x}\to {\overrightarrow{x}}_0}{\lim }f(\overrightarrow{x})=f({\overrightarrow{x}}_0)$$

Inoltre, $f$ è continua in $A$ se $f$ è continua in ogni punto ${\overrightarrow{x}}_0\in A$.

Tip

Le funzioni elementari sono continue nel loro dominio di definizione. Se $f$ e $g$ sono continue, allora lo sono anche $f\pm g$, $f\cdot g$, $f\circ g$, se $g\ne 0$ $\frac{f}{g}$, se $f>0$ $f^g$.