Funzioni a valori vettoriali

Note

Siano $n,m\in \mathbb{N}$ e $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ un insieme aperto. Una funzione di $n$ variabili a valori vettoriali (con $m$ componenti) è una relazione:

$$\overrightarrow{f}:A\to {\mathbb{R}}^m$$

Che associa ad ogni $n$-upla $\overrightarrow{x}=\{x_1,\cdots ,x_n\}\in A$ un’unica $m$-upla in ${\mathbb{R}}^m$, cioè:

$$\overrightarrow{f}(\overrightarrow{x})=\left(\begin{array}{c}{f}_1(\overrightarrow{x})\\ ⋮\\ f_m(\overrightarrow{x})\end{array}\right)$$

Tip

Le funzioni $f_1,\cdots ,f_n$ sono funzioni di più variabili a valori reali dette componenti di $f$. $\overrightarrow{f}$ si dice anche funzione vettoriale e le $f_i$ funzioni (o campi) scalari.

Limiti

Note

Siano $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ aperto, $\overrightarrow{f}:A\to {\mathbb{R}}^n$ e ${\overrightarrow{x}}_0\in A$. Scriviamo:

$$\exists \underset{\overrightarrow{x}\to {\overrightarrow{x}}_0}{\lim }\overrightarrow{f}(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{l}$$

Per un vettore $l=(l_1,\cdots ,l_m)\in {\mathbb{R}}^m$ se $\forall i\in =1,\cdots ,n$ abbiamo che:

$$\exists \underset{\overrightarrow{x}\to {\overrightarrow{x}}_0}{\lim }{f}_i(\overrightarrow{x})=l_i$$

Tip

Una funzione $\overrightarrow{f}:A\subseteq {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ è detta:

• continua in ${\overrightarrow{x}}_0$ se tutte le $f_i$ sono continue in ${\overrightarrow{x}}_0$.
• derivabile in ${\overrightarrow{x}}_0$ se tutte le $f_i$ sono derivabili in ${\overrightarrow{x}}_0$.
• differenziabile in ${\overrightarrow{x}}_0$ se tutte le $f_i$ sono differenziabili in ${\overrightarrow{x}}_0$
• in $c^1(A;\mathbb{R})$ se tutte le $f_i$ sono in $c^1(A;\mathbb{R})$

Matrice Jacobiana

Note

Siano $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ aperto, $\overrightarrow{f}:A\to {\mathbb{R}}^m$ e ${\overrightarrow{x}}_0\in A$. Se $\overrightarrow{f}$ è derivabile in ${\overrightarrow{x}}_0$, definiamo la matrice Jacobiana di $\overrightarrow{f}$ in ${\overrightarrow{x}}_0$ come la matrice $m\times n$ data da:

$$J_{\overrightarrow{f}}({\overrightarrow{x}}_0)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}({\overrightarrow{x}}_0)& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}({\overrightarrow{x}}_0)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}({\overrightarrow{x}}_0)& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}({\overrightarrow{x}}_0)\end{array}\right)$$

Tip

Nel caso $m=1$, allora $J_f({\overrightarrow{x}}_0)=(\nabla f({\overrightarrow{x}}_0){)}^T$. Nel caso $n>1$, allora in ogni riga $i$-esima troviamo gli elementi del $\nabla f_i({\overrightarrow{x}}_0)$.