Integrale triplo

Note

L’integrale doppio è un integrale multiplo con $k=3$. L’interpretazione geometrica della funzione $1$ è:

$$\text{Volume}(r):={\iiint }_{\Omega }1\text{ d}x\text{ d}y\text{ d}z\forall \Omega \subseteq {\mathbb{R}}^3$$

Le formule di riduzione si hanno anche per $k=3$, ma rispetto a “fili” e a “strati”.

Teorema di integrazione per fili

Note

Sia $\Omega \subseteq {\mathbb{R}}^3$ un insieme rappresentabile nella forma:

$$\Omega =\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:(x,y)\in D{l}_1(x,y)\le z\le l_2(x,y)\}$$

Dove $D$ è una regione regolare nel piano $xOy$ e $l_1,l_2:D\to \mathbb{R}$ tali che:

• Siano continue
• $l_1(x,y)\le l_2(x,y)\forall (x,y)\in D$

Se $f:\Omega \to \mathbb{R}$ è continua, allora $f$ è integrabile su $\Omega$ e l’integrale si può calcolare con la formula:

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)\text{ d}x\text{ d}y\text{ d}z={\iint }_D\left(\underset{l_1(x,y)}{\overset{l_2(x,y)}{\int }}f(x,y,z)\text{ d}z\right)\text{ d}x\text{ d}y$$

Tip

Il teorema è espresso con i “fili” paralleli all’asse $z$, ma con una rotazione si può facilmente esprimere con i “fili” paralleli agli altri assi.

Teorema di integrazione per strati

Note

Sia $\Omega \subseteq {\mathbb{R}}^3$ rappresentabile della forma:

$$\Omega =\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:z_1\le z\le z_2(x,y)\in D(z)\}$$

Dove $z_1,z_2\in \mathbb{R}$ con $z_1\le z_2$ e $\forall z\in [z_1,z_2]$ l’insieme $D(z)$ detto “strato” è un dominio regolare del piano. Se $f$ è continua, allora $f$ è integrabile per $\Omega$ e:

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)\text{ d}x\text{ d}y\text{ d}z={\int }_{z_1}^{z_2}\left({\iint }_{D(z)}f(x,y,z)\text{ d}x\text{ d}y\right)\text{ d}z$$

Coordinate cilindriche

Note

La funzione relativa alle coordinate cilindriche è:

$$\begin{array}{rl}& {\overrightarrow{T}}_c:{\mathbb{R}}^{+}\times [0,2\pi ]\times \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{>3}\\ & \overrightarrow{T_c}(\rho ,\theta ,z)=\left(\begin{array}{c}\rho \cos \theta \\ \rho \sin \theta \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\end{array}$$

E quindi otteniamo:

$$\det J_{{\overrightarrow{T}}_c}(\rho ,\theta ,z)=\rho \ne 0$$

E la formula di integrazione diviene:

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)\text{ d}x\text{ d}y\text{ d}z={\iiint }_{{\overrightarrow{T}}_c^{-1}(\Omega )}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,z)\rho \text{ d}\rho \text{ d}\theta \text{ d}z$$

Coordinate sferiche

Note

La funzione relativa alle coordinate sferiche è:

$$\begin{array}{rl}& {\overrightarrow{T}}_s:{\mathbb{R}}^{+}\times [0,\pi ]\times [0,2\pi ]\to {\mathbb{R}}^3\\ & {\overrightarrow{T}}_s(\rho ,\phi ,\theta )=\left(\begin{array}{c}\rho \sin \phi \cos \theta \\ \rho \sin \phi \sin \theta \\ \rho \cos \phi \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\end{array}$$

Abbiamo che $\det J_{{\overrightarrow{T}}_s}(\rho ,\phi ,\theta )={\rho }^2\sin \phi$. La formula di integrazione diviene:

$$\begin{array}{rl}& {\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)\text{ d}x\text{ d}y\text{ d}z=\\ =& {\iiint }_{{\overrightarrow{T}}_s^{-1}(\Omega )}f(\rho \sin \phi \cos \theta ,\rho \sin \phi \sin \theta ,\rho \cos \phi ){\rho }^2\sin \phi \text{ d}\rho \text{ d}\phi \text{ d}\theta \end{array}$$

Tip

Se immaginiamo la terra come una sfera perfetta:

• $\theta$ è relativa alla longitudine
• $\phi$ è relativa alla latitudine