Integrale doppio

Note

L’integrale doppio è un integrale multiplo con $k=2$. Definiamo alcune regioni $D\subseteq {\mathbb{R}}^2$ adatte all’integrazione.

Insieme y-semplice

Note

Un insieme $D\subseteq {\mathbb{R}}^2$ si dice $y$-semplice se è del tipo:

$$D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x\in [a,b],g_1(x)\le y\le g_2(x)\}$$

Dove $a,b\in \mathbb{R}$ con $a<b$ e $g_1,g_2:[a,b]\to \mathbb{R}$ sono funzioni tali che:

• $g_1$ e $g_2$ sono continue
• $g_1(x)\le g_2(x)\forall x\in [a,b]$

Abbiamo che:

$$\text{Area}(D)={\int }_a^b{g}_2(x)\text{ d}x-{\int }_a^b{g}_1(x)\text{ d}x={\int }_a^b{g}_2(x)-g_1(x)\text{ d}x$$

Tip

Osserviamo che il volume tra $D$ e il grafico della funzione $f:D\to \mathbb{R}$:

$$f(x,y)=1$$

Coincide con l’area di $D$:

$${\int }_{D}f(\overrightarrow{x})\text{ d}\overrightarrow{x}={\iint }_{D}1\text{ d}x\text{ d}y=\text{Area}(D)$$

Insieme x-semplice

Note

Un inseme $D\subseteq {\mathbb{R}}^2$ si dice $x$-semplice se è del tipo:

$$D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x\in [c,d],h_1(y)\le x\le h_2(y)\}$$

Dove $c,d\in \mathbb{R}$ con $c<d$ e $h_1,h_2:[c,d]\to \mathbb{R}$ tali che:

• $h_1$ e $h_2$ sono continue
• $h_1(y)\le h_2(y)\forall y\in [c,d]$

Abbiamo che:

$$\text{Area}(D)={\int }_c^d{h}_2(y)-h_1(y)\text{ d}y$$

Insieme regolare

Note

Un insieme $E\subseteq {\mathbb{R}}^2$ si dice regolare se è unione finita di insiemi $x$-semplici e $y$-semplici.

Tip

Siccome l’area di un insieme regolare è dato dalla somma delle aree dei suoi insiemi $x$-semplici e $y$-semplici possiamo definire:

$${\iint }_{E}1\text{ d}x\text{ d}y=\text{Area}(E)$$

Somma di Cauchy-Riemann

Note

Consideriamo una funzione $f:A\subseteq {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ limitata con $A:=[a,b]\times [c,d]$ per $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ con $a<b$ e $c<d$. Consideriamo una partizione $\{x_h{\}}_{h=0}^n$ di $[a,b]$ equiparziata, cioè $a=x_0<\cdots <x_n=b$ con $x_h-x_{h-1}=\frac{b-a}{n}$. In analogia, consideriamo una partizione $\{y_k{\}}_{k=0}^k$ di $[c,d]$ equiparziata, cioè $c=y_0<\cdots <y_n=d$ con $y_k-y_{k-1}=\frac{d-c}{n}$. Definiamo $I_{h,k}=[x_{h-1},h]\times [y_{k-1},y_k]\forall h,k=1,\cdots ,n$. Scegliamo un punto $p_{h,k}\in I_{h,k}$ e chiamiamo $P_{h,k}$ il parallelepipedo con base $I_{h,k}$ e altezza $f(p_{h,k})$. Abbiamo che il volume di ciascun $P_{h,k}$ è dato da:

$$\text{Vol}(P_{h,k})=\text{Area}(I_{h,k})\cdot f(p_{h,k})=\frac{b-a}{n}\cdot \frac{d-c}{n}\cdot f(p_{h,k})$$

Diciamo che $f$ è integrabile su $A=[a,b]\times [c,d]$ se:

$$\exists \underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{h,k=1}^n\text{Vol}(P_{h,k})=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{b-a}{n}\frac{c-d}{n}\sum _{h,k=1}^{n}f(P_{h,k})$$

Finito e non dipende dalla scelta dei punti $p_{h,k}$ nei rettangolini $I_{h,k}$. In questo caso definiamo:

$${\iint }_{A}f(x,y)\text{ d}x\text{ d}y=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{b-a}{n}\frac{c-d}{n}\sum _{h,k=1}^{n}f(P_{h,k})$$

Questa definizione è la naturale estensione dell’idea usata per definire gli integrali con $k=1$.

Teorema di integrabilità di funzioni continue

Note

Sia $D\subseteq {\mathbb{R}}^2$ un insieme regolare e sia $f:D\to \mathbb{R}$ una funzione continua in $D$. Allora $f$ è integrabile in $D$.

Teorema delle formule di riduzione (a integrali iterati)

Note

Sia $D$ un dominio $y$-semplice, cioè:

$$D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x\in [a,b]g_1(x)\le y\le g_2(x)\}$$

Per appropriati $a,b,g_1,g_2$, e sia $f:D\to \mathbb{R}$ una funzione continua in $D$. Allora abbiamo che:

$${\iint }_{D}f(x,y)\text{ d}x\text{ d}y={\int }_a^b\left(\underset{g_1(x)}{\overset{g_2(x)}{\int }}f(x,y)\text{ d}y\right)\text{ d}x$$

Analogamente, sia $D$ un dominio $x$-semplice, cioè:

$$D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:y\in [c,d]h_1(y)\le x\le h_2(y)\}$$

Per appropriati $c,d,h_1,h_2$, e sia $f:D\to \mathbb{R}$ continua in $D$. Allora abbiamo che:

$${\iint }_{D}f(x,y)\text{ d}x\text{ d}y={\int }_c^d\left(\underset{h_1(y)}{\overset{h_2(y)}{\int }}f(x,y)\text{ d}x\right)\text{ d}y$$

Coordinate polari

Note

Sia il cambiamento di variabili ${\overrightarrow{T}}_{\rho }:{\mathbb{R}}^{+}\times [0,2\pi ]\to {\mathbb{R}}^2$ un cambiamento che associa ogni punto nel piano $(x,y)$ alle sue coordinate polari:

$${\overrightarrow{T}}_{\rho }(\rho ,\theta )=\left(\begin{array}{c}\rho \cos \theta \\ \rho \sin \theta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$

La sua matrice Jacobiana è definita come:

$$J_{{\overrightarrow{T}}_{\rho }}(\rho ,\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\rho \sin \theta \\ \sin \theta & \rho \cos \theta \end{array}\right)$$

E quindi $\det J_{{\overrightarrow{T}}_{\rho }}(\rho ,\theta )=\rho {\cos }^2\theta +\rho {\sin }^2\theta =\rho \ne 0$.

Tip

Quindi ${\overrightarrow{T}}_{\rho }$ ristretto a $(0,+\infty )\times (0,2\pi )$ è un cambio di variabili con immagine:

$${\mathbb{R}}^2\setminus \{(x,y):x\ge 0,y=0\}$$