Derivabilità di funzioni a più variabili

Note

Sia $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ aperto, $f:A\to \mathbb{R}$, ${\overrightarrow{x}}_0=(x_1^0,\cdots ,x_n^0)\in A$. Diciamo che:

• La derivata parziale di $f$ rispetto alla $i$-esima coordinata in ${\overrightarrow{x}}_0$ è:

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}({\overrightarrow{x}}_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_1^0,\cdots ,f_i^0+h,\cdots ,f_n^0)-f({\overrightarrow{x}}_0)}{h}$$

Perché tale limite esista finito per $i=1,\cdots ,n$

• $f$ è derivabile in ${\overrightarrow{x}}_0$ se esistono tutte le derivate $i$-esime $\frac{\partial f}{\partial x_i}({\overrightarrow{x}}_0)$
• $f$ è derivabile in $A^{\prime }\subseteq A$ se $f$ è derivabile in tutti i punti $\overrightarrow{x_0\in A^{\prime }}$

La notazione per la derivata parziale è:

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}({\overrightarrow{x}}_0)={\partial }_{x_i}f({\overrightarrow{x}}_0)=D_{x_i}f({\overrightarrow{x}}_0)=f_{x_i}({\overrightarrow{x}}_0)$$

Tip

Se $f$ è definita per casi è spesso necessario usare direttamente la definizione.

Gradiente

Note

Sia $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ aperto, $f:A\to \mathbb{R}$, ${\overrightarrow{x}}_0=(x_1^0,\cdots ,x_n^0)\in A$. Se $f$ è derivabile in ${\overrightarrow{x}}_0$, allora diciamo che il gradiente di $f$ in ${\overrightarrow{x}}_0$ è:

$$\nabla f(\overrightarrow{x_0})=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\ ⋮\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^n$$

In generale, se $f$ è derivabile in $A^{\prime }\subseteq A$, allora possiamo definire la funzione gradiente $\nabla f$.

Derivata direzionale

Note

Sia $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ aperto, $f:A\to \mathbb{R}$, ${\overrightarrow{x}}_0=(x_1^0,\cdots ,x_n^0)\in A$. Sia $\overrightarrow{v}\in {\mathbb{R}}^n$ un vettore di norma unitaria. Diciamo che la derivata direzionale di $f$ in ${\overrightarrow{x}}_0$ nella direzione individuata da $v$ è:

$$\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{v}}({\overrightarrow{x}}_0)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f({\overrightarrow{x}}_0+t\overrightarrow{v})-f({\overrightarrow{x}}_0)}{t}$$

Dove $t\in \mathbb{R}$ con ${\overrightarrow{x}}_0+t\overrightarrow{v}\in A$, perché il limite esista finito.

Differenziabilità per funzioni a più variabili

Note

Sia $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$, $f:A\to \mathbb{R}$, ${\overrightarrow{x}}_0=(x_1^0,\cdots ,x_n^0)\in A$. Diciamo che $f$ è differenziabile in ${\overrightarrow{x}}_0$ se $\exists \overrightarrow{a}\in {\mathbb{R}}^n$ tale che, ponendo $\overrightarrow{h}=(h_1,\cdots ,h_n)$ e:

$$R(h):=f({\overrightarrow{x}}_0+h)-f({\overrightarrow{x}}_0)-⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩$$

Si ha che:

$$\underset{\overrightarrow{h}\to \overrightarrow{0}}{\lim }\frac{R(\overrightarrow{h})}{||\overrightarrow{h}||}$$

O utilizzando la notazione o piccolo, e ponendo $\overrightarrow{x}={\overrightarrow{x}}_0+\overrightarrow{h}$:

$$f({\overrightarrow{x}}_0+\overrightarrow{h})=f({\overrightarrow{x}}_0)+⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0⟩+o(||\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0||)$$

Inoltre, possiamo verificare che tale vettore $\overrightarrow{a}\in {\mathbb{R}}^n$ coincide con $\nabla f({\overrightarrow{x}}_0)$:

$$a=\nabla f({\overrightarrow{x}}_0)$$

Teorema della condizione necessaria per la differenziabilità

Note

Sia $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ aperto e sia $f:A\to \mathbb{R}$ differenziabile nel punto ${\overrightarrow{x}}_0\in A$. Allora $f$ è continua in ${\overrightarrow{x}}_0$.

Dimostrazione

Dobbiamo dimostrare che $\exists {\lim }_{\overrightarrow{x}\to {\overrightarrow{x}}_0}f(\overrightarrow{x})=f({\overrightarrow{x}}_0)$. Siccome $f$ è differenziabile in ${\overrightarrow{x}}_0$, abbiamo che:

$$f(\overrightarrow{x})=f({\overrightarrow{x}}_0)+⟨\nabla f({\overrightarrow{x}}_0),\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0⟩+o(||\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0||)$$

E quindi:

$$\begin{array}{rl}0& \le |f(\overrightarrow{x})-f({\overrightarrow{x}}_0)|=|⟨\nabla f({\overrightarrow{x}}_0),\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0⟩+o\left(||\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0||\right)|\\ & \le |⟨\nabla f({\overrightarrow{x}}_0),\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0⟩|+|o\left(||\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0||\right)|\\ & =|⟨\nabla f({\overrightarrow{x}}_0),\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0⟩|+o\left(||\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0||\right)\\ & \le ||\nabla f({\overrightarrow{x}}_0)||\cdot ||\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0||+o\left(||\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0||\right)\end{array}$$

Dove abbiamo usato le disuguaglianze triangolare e di Cauchy-Schwarz. Prendendo il limite per $\overrightarrow{x}\to {\overrightarrow{x}}_0$ otteniamo:

$$\begin{array}{rl}0& \le \underset{\overrightarrow{x}\to {\overrightarrow{x}}_0}{\lim }|f(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0)|\le \underset{\overrightarrow{x}\to {\overrightarrow{x}}_0}{\lim }\left(||\nabla f({\overrightarrow{x}}_0)||\cdot ||\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0||\right)+\underset{\overrightarrow{x}\to {\overrightarrow{x}}_0}{\lim }o\left(||\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0||\right)\\ & =||\nabla f({\overrightarrow{x}}_0)||\underset{\overrightarrow{x}\to {\overrightarrow{x}}_0}{\lim }||\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0||+\underset{\overrightarrow{x}\to {\overrightarrow{x}}_0}{\lim }\left(\frac{o\left(||\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0||\right)}{||\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0||}\cdot ||\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0||\right)=0\end{array}$$

E quindi concludiamo che:

$$\exists \underset{\overrightarrow{x}\to {\overrightarrow{x}}_0}{\lim }|f(\overrightarrow{x})-f({\overrightarrow{x}}_0)|=0$$

Classe di una funzione

Note

Sia $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ aperto, $f:A\to \mathbb{R}$ derivabile in $A$. Diciamo che $f$ è di classe $c^1$ in $A$, e scriviamo:

$$f\in c^1(A)$$

Se tutte le derivate parziali di $f$ esistono e sono funzioni continue in $A$.

Teorema del differenziale totale

Note

Sia $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ e sia $f\in c^1(A)$. Allora $f$ è differenziabile in ogni punto di $A$, cioè:

$$f\in c^1(A)⟹f\text{ differenziabile in }A$$

Teorema della formula del gradiente

Note

Sia $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ aperto e sia $f:A\to \mathbb{R}$ differenziabile in ${\overrightarrow{x}}_0\in A$. Allora per ogni $\overrightarrow{v}\in {\mathbb{R}}^n$ con $||\overrightarrow{v}||=1$ esiste la derivata dimensionale in ${\overrightarrow{x}}_0$ lungo la direzione $\overrightarrow{v}$ e inoltre:

$$\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{v}}({\overrightarrow{x}}_0)=⟨\nabla f({\overrightarrow{x}}_0),\overrightarrow{v}⟩$$

Dimostrazione

Siccome $f$ è differenziabile in ${\overrightarrow{x}}_0$, abbiamo che:

$$f({\overrightarrow{x}}_0+\overrightarrow{h})=f({\overrightarrow{x}}_0)+⟨\nabla f({\overrightarrow{x}}_0),\overrightarrow{h}⟩+o(||\overrightarrow{h}||)$$

per $\overrightarrow{h}\to \overrightarrow{0}$ e possiamo applicare tale equazione a $\overrightarrow{h}=t\overrightarrow{v}$ per ogni $t\in \mathbb{R}$ abbastanza piccolo:

$$\begin{array}{rl}f({\overrightarrow{x}}_0+t\overrightarrow{v})& =f({\overrightarrow{x}}_0)+⟨\nabla f({\overrightarrow{x}}_0),t\overrightarrow{v}⟩+o(||t\overrightarrow{v}||)\\ & =f({\overrightarrow{x}}_0)+t⟨\nabla f({\overrightarrow{x}}_0),\overrightarrow{v}⟩+o(t)\end{array}$$

Dove abbiamo utilizzato che $||\overrightarrow{v}||=1$. Quindi abbiamo che:

$$\frac{f({\overrightarrow{x}}_0+t\overrightarrow{v})-f({\overrightarrow{x}}_0)}{t}=\frac{t⟨\nabla f({\overrightarrow{x}}_0,\overrightarrow{v})⟩}{t}+\frac{o(t)}{t}$$

E concludiamo grazie a definizione di derivata direzionale che:

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{v}}({\overrightarrow{x}}_0)& =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f({\overrightarrow{x}}_0+t\overrightarrow{v})-f({\overrightarrow{x}}_0)}{t}\\ & =\underset{t\to 0}{\lim }⟨\nabla f({\overrightarrow{x}}_0),\overrightarrow{v}⟩+\underset{t\to 0}{\lim }\frac{o(t)}{t}\\ & =⟨\nabla f({\overrightarrow{x}}_0),\overrightarrow{v}⟩\end{array}$$

Teorema della direzione di massima e minima pendenza

Note

Sia $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ aperto e $f:A\to \mathbb{R}$, ${\overrightarrow{x}}_0\in A$. Assumiamo che:

• $f$ è differenziabile in ${\overrightarrow{x}}_0$
• $\nabla f({\overrightarrow{x}}_0)\ne \overrightarrow{0}$

Allora per ogni $\overrightarrow{v}\in {\mathbb{R}}^n$ con $||\overrightarrow{v}||=1$ si ha che:

$$\left|\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{v}}({\overrightarrow{x}}_0)\right|\le ||\nabla f({\overrightarrow{x}}_0)||$$

E inoltre, detti:

$${\overrightarrow{v}}_{\max }:=\frac{\nabla f({\overrightarrow{x}}_0)}{||\nabla f({\overrightarrow{x}}_0)||}{\overrightarrow{v}}_{\min }:=-\frac{\nabla f({\overrightarrow{x}}_0)}{||\nabla f({\overrightarrow{x}}_0)||}$$

Abbiamo che:

$$\frac{\partial f}{\partial {\overrightarrow{v}}_{\max }}=||\nabla f({\overrightarrow{x}}_0)||\frac{\partial f}{\partial {\overrightarrow{v}}_{\min }}=-||\nabla f({\overrightarrow{x}}_0)||$$

Dimostrazione

Diretta conseguenza della formula del gradiente:

$$\left|\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{v}}\right|=|⟨\nabla f({\overrightarrow{x}}_0),\overrightarrow{v}⟩|\le ||\nabla f({\overrightarrow{x}}_0)||\cdot ||\overrightarrow{v}||=||\nabla f({\overrightarrow{x}}_0)||$$

Teorema della derivazione composta 1-n-1

Note

Sia $I\subseteq \mathbb{R}$ un intervallo e $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ aperto. Sia $\overrightarrow{r}:I\to A$ una curva regolare e $f:A\to \mathbb{R}$ una funzione differenziabile in $A$. Detta $F:I\to \mathbb{R}$ la funzione composta definita per ogni $t\in I$ come $F(t)=(f\circ \overrightarrow{r})(t)=f(\overrightarrow{r}(t))$, abbiamo che $F$ è derivabile in $I$ e inoltre:

$$F^{\prime }(t)=⟨\nabla f(\overrightarrow{r}(t)),\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)⟩\forall t\in I$$

Tip

Possiamo vedere la derivata direzionale come la derivata di una funzione composta: sia $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ aperto e $f:A\to \mathbb{R}$ differenziabile in $A$, ${\overrightarrow{x}}_0\in A$ e $\overrightarrow{v}\in {\mathbb{R}}^n$ con $||\overrightarrow{v}||=1$, allora:

$$\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{v}}({\overrightarrow{x}}_0)=F^{\prime }(0)$$

Dove $F(t):=f(x_0+t\overrightarrow{v})$. Infatti applicando la formula precedente a $F$:

$$F^{\prime }(0)=⟨\nabla f(\overrightarrow{r}(0)),\overrightarrow{r}{}^{\prime }(0)⟩=⟨\nabla f({\overrightarrow{x}}_0),\overrightarrow{v}⟩$$

Caso di funzione composta n-1-1

Consideriamo la funzione $G:A\to \mathbb{R}$ definita da:

$$G(\overrightarrow{x}):=(g\circ f)(\overrightarrow{x})=g(f(\overrightarrow{x}))$$

Se $g$ e $f$ sono derivabili, allora $G$ è derivabile e:

$$\nabla G(\overrightarrow{x})=g^{\prime }(f(\overrightarrow{x}))\cdot \nabla f(\overrightarrow{x})$$

Teorema di ortogonalità del gradiente agli insiemi di livello

Note

Sia $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ aperto e sia $f:A\to \mathbb{R}$ differenziabile in $A$. Supponiamo che l’insieme di livello $k\in \mathbb{R}$ di $f$, cioè:

$$I_k:=\{\overrightarrow{x}\in A:f(\overrightarrow{x})=k\}$$

Sia il sostegno di una curva regolare $\overrightarrow{r}:I\to A$ dove $I\subseteq \mathbb{R}$ è un intervallo, abbiamo che:

$$⟨\nabla f(\overrightarrow{r}(t)),\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)⟩=0\forall t\in I$$

Dimostrazione

Consideriamo la funzione $F:I\to \mathbb{R}$ definita da:

$$F(t):=(f\circ \overrightarrow{r})(t)=f(\overrightarrow{r}(t))$$

Osserviamo che:

$$I_k:=\{\overrightarrow{x}\in A:f(\overrightarrow{x})=k\}=\{\overrightarrow{r}(t):t\in I\}$$

E quindi $F(t)=f(\overrightarrow{r}(t))=k$. Abbiamo che $F$ è costante su $I$ e quindi:

$$F^{\prime }(t)=0\forall t\in I$$

Per il teorema di derivazione delle funzioni composte 1-n-1 abbiamo che:

$$F^{\prime }(t)=⟨\nabla f(\overrightarrow{r}(t)),\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)⟩\forall t\in I$$

Quindi dalle due formule otteniamo che:

$$0=F^{\prime }(t)=⟨\nabla f(\overrightarrow{r}(t)),\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)⟩\forall t\in I$$