Studio qualitativo di EDO

Teorema di Peano (o di esistenza locale)

Note

Siano $A=I\times B\subseteq {\mathbb{R}}^2$ con $I$ intervallo aperto e $B$ insieme aperto, ${\overrightarrow{x}}_0=(x_0,y_0)\in A$ e $f:A\to \mathbb{R}$ continua. Allora il problema di Cauchy:

$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(x)=f(x,y(x))x\in I\\ y(x_0)=y_0\end{array}$$

Ammette una soluzione $y\in c^1(J)$ definita su un intervallo $J\subseteq I$ con $x_0\in J$.

Teorema di Cauchy (o di esistenza unica locale)

Note

Siano $A=I\times B\subseteq {\mathbb{R}}^2$ con $I$ intervallo aperto e $B$ insieme aperto, ${\overrightarrow{x}}_0=(x_0,y_0)\in A$ e $f:A\to \mathbb{R}$ continua. Se inoltre $\exists \delta >0$ tale che $\frac{\partial f}{\partial y}$ esiste ed è continua in $B_{\delta }({\overrightarrow{x}}_0)$, allora il problema di Cauchy ammette una soluzione $y\in c^1(J)$ definita su un intervallo $J\subseteq I$ con $x_0\in J$ che si può prendere sufficientemente piccolo per avere che $y$ è anche l’unica soluzione in $B_{\delta }({\overrightarrow{x}}_0)$.

Teorema di esistenza e unicità globale

Note

Consideriamo il problema di Cauchy:

$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(x)=f(x,y(x))x\in I\\ y(x_0)=y_0\end{array}$$

sulla striscia $A=(\lambda ,\beta )\times \mathbb{R}$ con $-\infty \le \lambda <\beta \le +\infty$, con $f\in c^0(A)$ tale che $\exists \frac{\partial f}{\partial y}\in c^0(A)$ e sia $y:J\to \mathbb{R}$ la sua unica soluzione con $J$ intervallo massimale di definizione (cioè non ulteriormente prolungabile). Abbiamo che:

• Se esistono due costanti $k_1,k_2\ge 0$ tali che:

$$|f(x,y)|\le k_1+k_2|y|\forall (x,y)\in A$$

allora $J=(\lambda ,\beta )$

• Se $y$ è limitata su $J$, allora $J=(\lambda ,\beta )$.