SDL autonomi nel piano

Note

Un sistema differenziale autonomo di ordine $2$ è un sistema differenziale della forma:

$$\overrightarrow{y}(t)=\overrightarrow{f}(\overrightarrow{y}(t))⟺\{\begin{array}{l}{y}_1^{\prime }(t)=f_1(y_1(t),y_2(t))\\ y_2^{\prime }(t)=f_2(y_1(t),y_2(t))\end{array}$$

Con $\overrightarrow{f}:D\subseteq {\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$:

$$\overrightarrow{f}(\overrightarrow{y}):=\left(\begin{array}{c}{f}_1(\overrightarrow{y})\\ f_2(\overrightarrow{y})\end{array}\right)$$

Tip

Come per le EDO del primo ordine autonome abbiamo che se $\overrightarrow{y}(t)$ è soluzione, allora ${\overrightarrow{z}}_c:=\overrightarrow{y}(x+c)$ è soluzione $\forall c\in \mathbb{R}$.

Orbite, diagramma delle fasi e punti di equilibrio

Note

L’orbita (o traiettoria) di una soluzione $\overrightarrow{y}$ è l’immagine nel piano $y_{1}O{y}_2$ delle soluzioni nel loro intervallo di esistenza. Il diagramma delle fasi è il piano $y_{1}O{y}_2$ con le orbite delle soluzioni. I punti di equilibrio sono $\overrightarrow{\overline{y}}=({\overline{y}}_1,{\overline{y}}_2)\in {\mathbb{R}}^2$ tale che $\overrightarrow{f}(\overrightarrow{\overline{y}})=\overrightarrow{0}$.

Tip

Siccome $\det A\ne 0$ l’unico punto di equilibrio è l’origine $\overrightarrow{0}$. Nel piano delle fasi vi sono infinite orbite che riempiono tutto il piano. Le orbite non si intersecano.

Studiando la stabilità dell’origine per gli SDL autonomi abbiamo 8 casi diversi rispetto agli autovalori ${\lambda }_1$ e ${\lambda }_2$ di $A$.

Punto di sella instabile

$${\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{R}{\lambda }_1\ne {\lambda }_2\text{sgn}({\lambda }_1)\ne \text{sgn}({\lambda }_2)$$

Nodo a due tangenti instabile

$${\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{R}{\lambda }_1\ne {\lambda }_2{\lambda }_1,{\lambda }_2>0$$

Nodo a due tangenti stabile

$${\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{R}{\lambda }_1\ne {\lambda }_2{\lambda }_1,{\lambda }_2<0$$

Nodo a stella

$${\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{R}{\lambda }_1={\lambda }_2\text{matrice diagonalizzabile}$$

Nodo a una tangente o improprio

$${\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{R}{\lambda }_1={\lambda }_2\text{matrice non diagonalizzabile}$$

Centro stabile

$${\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{C}\text{coniugati e immaginari puri}$$

Fuoco instabile

$${\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{C}\text{coniugati e }\text{Re}({\lambda }_1)>0$$

Fuoco stabile

$${\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{C}\text{coniugati e Re}({\lambda }_1)<0$$