Equazioni differenziali ordinarie

Note

Un equazione differenziale ordinaria (EDO o ODE) di ordine $n$ è un equazione che ha come incognita una funzione $y(t)$ che coinvolge la derivata $n$-esima di $y$ e può coinvolgere le derivate $j$-esime con $0\le j<n$, cioè si può scrivere nella forma:

$$F(t,y(t),y^{\prime }(t),\cdots ,y^{(n)}(t))=0t\in I$$

Dove $I$ è un intervallo in $\mathbb{R}$ e $F$ è una funzione in $n+2$ variabili.

Inoltre sono dette soluzioni particolari della EDO in un intervallo $J\subset I$ ogni funzione $\overline{y}(t)\in C^n(j)$, cioè continua con derivate continue fino all’ordine $n$, che soddisfi la precedente equazione. L’insieme di tutte le soluzioni si dice integrale generale della EDO.

Tip

In generale le EDO hanno $\infty$ soluzioni per via della costante $c$.

Tip

La soluzione di un’EDO dipende anche dall’intervallo di definizione (anch’esso è incognita). L’intervallo di definizione della funzione può essere più piccolo dell’intervallo della EDO.

Forma normale

Note

Un’EDO di ordine $n$ è in forma normale se è nella forma:

$$y^{(n)}(t)=f(t,y(t),\cdots ,y^{(n-1)}(t))t\in I$$

Cioè, è in forma normale se esplicitiamo la derivata di ordine massimo.

Problema di Cauchy

Note

Data un’EDO di ordine $n$ in forma normale, cioè:

$$y^{(n)}=f(t,y(t),\cdots ,y^{(n-1)}(t))t\in I$$

Per un dato intervallo $I\subseteq \mathbb{R}$, data una funzione $f$ con dominio $A$:

$$A:=I\times BB\subseteq {\mathbb{R}}^n$$

E dato un punto $(t_0,y_0,y_0^1,\cdots ,y_0^{n-1})\in A$, si dice problema di Cauchy associato alla EDO il problema che consiste nel determinare una soluzione particolare:

$$\overline{y}=J\to \mathbb{R}$$

Della EDO per un intervallo $J\subseteq I$, tale che $t_0\in J$ e che soddisfi il sistema:

$$\{\begin{array}{l}{y}^{(n)}(t)=f(t,y(t),\cdots ,y^{(n)}(t))\\ y(t_0)=y_0\\ y^{\prime }(t_0)=y_0^1\\ ⋮\\ y^{(n-1)}(t_0)=y_0^{n-1}\end{array}$$

Tip

Nel problema di Cauchy servono tante condizioni quante costanti compaiono nell’integrale generale dell’EDO associata. Nel caso $n=1$ c’è una sola costante e quindi mi basta la condizione $y(t_0)=y_0$.

Risoluzione di un problema di Cauchy:

1. Determinare l’integrale generale dell’EDO
2. Sostituisco l’integrale generale nel sistema e determino le costanti presenti nell’integrale generale
3. Sostituisco il valore delle costanti trovate al passo 2 nell’integrale generale del passo 1