EDO del secondo ordine lineari omogenee a coefficienti costanti

Per determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea è sufficiente trovare due soluzioni linearmente indipendenti.

Ricordandoci che una funzione della forma ha derivata proporzionale alla funzione stessa:

Sostituendo all’equazione avremo:

Sapendo che per qualsiasi valore otterremo:

Questa è detta equazione caratteristica. Le soluzioni dell’equazione e ci daranno quindi le soluzioni dell’omogenea linearmente indipendenti:

Siccome la natura delle soluzioni dell’equazione caratteristica è determinata dal dell’equazione caratteristica si creano diversi casi.

Caso

Note

Si creano due soluzioni reali e distinte, e siccome sono indipendenti, per il teorema di struttura avremo come integrale generale:

Caso

Note

Si creano due soluzioni complesse coniugate. Ricordando la formula di Eulero:

Costruiamo due soluzioni reali linearmente indipendenti:

Quindi l’integrale generale sarà:

Caso

Note

Si creano due soluzioni reali coincidenti. Si può dire che le due soluzioni reali linearmente indipendenti saranno

Quindi l’integrale generale sarà: