EDO del secondo ordine lineari omogenee a coefficienti costanti

Per determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea è sufficiente trovare due soluzioni linearmente indipendenti.

Ricordandoci che una funzione della forma $y(t)=e^{\lambda t}$ ha derivata proporzionale alla funzione stessa:

$$\begin{array}{rl}& y(t)=e^{\lambda t}\\ & y^{\prime }(t)=\lambda e^{\lambda t}\\ & y^{\prime \prime }(t)={\lambda }^2{e}^{\lambda t}\end{array}$$

Sostituendo all’equazione avremo:

$$\begin{array}{rl}& a{\lambda }^2{e}^{\lambda t}+b\lambda e^{\lambda t}+e^{\lambda t}=0\\ ⟹& e^{\lambda t}(a{\lambda }^2+b\lambda +c)=0\end{array}$$

Sapendo che $e^{\lambda t}\ne 0$ per qualsiasi valore otterremo:

$$a{\lambda }^2+b\lambda +c=0$$

Questa è detta equazione caratteristica. Le soluzioni dell’equazione ${\lambda }_1$ e ${\lambda }_2$ ci daranno quindi le soluzioni dell’omogenea linearmente indipendenti:

$$y_1(t)=e^{{\lambda }_{1}t}{y}_2(t)=e^{{\lambda }_{2}t}$$

Siccome la natura delle soluzioni dell’equazione caratteristica è determinata dal $\Delta$ dell’equazione caratteristica si creano diversi casi.

Caso $\Delta >0$

Note

Si creano due soluzioni reali e distinte, e siccome sono indipendenti, per il teorema di struttura avremo come integrale generale:

$$y(t)=C_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}t}$$

Caso $\Delta <0$

Note

Si creano due soluzioni complesse coniugate. Ricordando la formula di Eulero:

$$e^{\alpha +i\beta }=e^{\alpha }(\cos (\beta )+i\sin (\beta ))$$

Costruiamo due soluzioni reali linearmente indipendenti:

$$\begin{array}{rl}{u}_1(t)& =\frac{y_1(t)+y_2(t)}{2}=e^{\alpha t}\cos (\beta t)\\ u_2(t)& =\frac{y_1(t)-y_2(t)}{2i}=e^{\alpha t}\sin (\beta t)\end{array}$$

Quindi l’integrale generale sarà:

$$y(t)=C_1{e}^{\alpha t}\cos (\beta t)+C_2{e}^{\alpha t}\sin (\beta t)=e^{\alpha t}(C_1\cos (\beta t)+C_2\sin (\beta t))$$

Caso $\Delta =0$

Note

Si creano due soluzioni reali coincidenti. Si può dire che le due soluzioni reali linearmente indipendenti saranno

$$\begin{array}{r}{y}_1(t)=e^{{\lambda }_{1}t}\\ y_2(t)=t{e}^{{\lambda }_{1}t}\end{array}$$

Quindi l’integrale generale sarà:

$$y(t)=C_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+C_{2}t{e}^{{\lambda }_{1}t}$$