EDO del secondo ordine lineari non omogenee

Note

Consideriamo un equazione differenziale della forma:

$$a{y}^{\prime \prime }+b^{\prime }+cy=f(t)$$

Con $a\ne 0$. Per determinare l’integrale generale dell’equazione è necessario conoscere l’integrale generale dell’omogenea associata e la soluzione particolare:

$$y(t)=C_1{y}_1(t)+C_2{y}_2(t)+y_P(t)C_1,C_2\in \mathbb{R}$$

Per trovare la soluzione particolare si usa il metodo di somiglianza, di cui adesso analizziamo i casi:

Forzante esponenziale

Note

Consideriamo il caso:

$$f(t)=A{e}^{\alpha t}A,\alpha \in \mathbb{R}$$

Per trovare una soluzione particolare, si parte da una funzione:

$$y_P(t)=C{e}^{\alpha t}$$

Derivandola e sostituendo nell’equazione troveremo un valore $C$. Nel caso $\alpha$ sia radice del polinomio caratteristico, usiamo come soluzione particolare:

$$y_P(t)=Ct{e}^{\alpha t}$$

Se $\alpha$ è radice doppia del polinomio caratteristico, usiamo come soluzione particolare:

$$y_P(t)=C{t}^2{e}^{\alpha t}$$

Forzante polinomiale

Note

Consideriamo il caso in cui $f(t)$ sia polinomiale di grado $n$. Utilizziamo come soluzione particolare il più generale polinomio di grado $n$:

$$y_P(t)={\beta }_n{t}^n+{\beta }_{n-1}{t}^{n-1}+\cdots +{\beta }_{1}t+{\beta }_0$$

Derivando, sostituendo e applicando il principio di identità dei polinomi ricaviamo le costanti ${\beta }_n,{\beta }_{n-1},\cdots ,{\beta }_1,{\beta }_0$ dal sistema lineare di $n+1$ equazioni e $n+1$ incognite. In caso non sia possibile applicare il principio di identità dei polinomi proviamo usare come soluzione il polinomio generale di grado $n+1$.

Forzante trigonometrica

Note

Consideriamo il caso in cui $f(t)$ sia trigonometrica. Utilizziamo come soluzione particolare:

$$y_P(t)=C_1\cos (\nu t)+C_2\sin (\nu t)$$

Derivando, sostituendo e applicando il principio di identità dei polinomi ricaviamo $C_1$ e $C_2$. Se la forzante è soluzione dell’omogenea associata usiamo come soluzione particolare:

$$y_P=t(C_1\cos (\nu t)+C_2\sin (\nu t))$$