EDO del secondo ordine lineari

Note

Un’EDO del secondo ordine si dice a lineare se è nella forma:

$$a(t)y^{\prime \prime }(t)+b(t)y^{\prime }(t)+c(t)y(t)=f(t)$$

Con $a,b,c,f:I\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ funzioni continue. e $a\ne 0$. Si dice omogenea quando $f(t)=0$, e l’omogenea associata di un equazione si trova imponendo $f(t)=0$.

Tip

Un’EDO del secondo ordine ha infinite soluzioni dipendenti da due parametri.

Principio di sovrapposizione

Note

Se $y_1$ è soluzione di $a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=f_1$ e $y_2$ è soluzione di $a^{\prime \prime }+b^{\prime }+cy=f_2$, allora la funzione

$$y(t)=C_1{y}_1(t)+C_2{y}_2(t)$$

è soluzione di

$$a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=C_1{f}_1+C_2{f}_2$$

Dimostrazione

Il primo membro dell’equazione può essere visto come un operatore chiamato $L$, ponendo $Ly$ come $a{y}^{\prime \prime }+by+cy$. Questo operatore gode di una proprietà di linearità:

$$L(C_1{y}_1+C_2{y}_2)=C_{1}L{y}_1+C_{2}L{y}_2$$

Data questa proprietà possiamo definire l’equazione come lineari. A queste operazioni possiamo quindi applicare il principio di sovrapposizione. Per questo possiamo affermare che:

$$\begin{array}{rl}& C_{1}L{y}_1+C_{2}L{y}_2=C_1{f}_1+C_2{f}_2\\ ⟹& L(C_1{y}_1+C_2{y}_2)=C_1{f}_1+C_2{f}_2\\ ⟹& L(y)=C_1{f}_1+C_2{f}_2\end{array}$$

Teorema di struttura

Note

L’integrale generale di $a(t)y^{\prime \prime }+b(t)y^{\prime }+c(t)y=0$ con $a,b,c$ funzioni continue in $I$ e $a(t)\ne 0$ in $I$ è dato da tutte le combinazioni lineari

$$y(t)=C_1{y}_1(t)+C_2{y}_2(t)\forall C_1,C_2\in \mathbb{R}$$

Dove $y_1,y_2$ sono due soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione stessa.

Possiamo dire che le soluzioni di $Ly$ sono:

$$y(t)=y_0(t)+y_P(t)$$

Dove $y_P$ è soluzione di $Ly=f$, e $y_0$ è soluzione di $Ly=0$.

Dimostrazione

Dal principio di sovrapposizione deduciamo che l’insieme di tutte le soluzioni è uno spazio vettoriale (perché è chiuso rispetto alla somma di soluzioni e al prodotto per uno scalare). Per dimostrare che la dimensione è $2$ dobbiamo:

1. Determinare due soluzioni linearmente indipendenti $y_{\sigma 1}$ e $y_{\sigma 2}$
2. Verificare che ogni soluzione ${\overline{y}}_{\sigma }(t)$ si possa scrivere come combinazione lineare di $y_{\sigma 1}$ e $y_{\sigma 2}$

Per soddisfare la prima condizione, fissiamo $t_0\in I$ e scegliamo $y_{\sigma 1}$ e $y_{\sigma 2}$ come soluzioni di due problemi di Cauchy, rispettivamente, $y_{\sigma 1}$ come soluzione di:

$$\{\begin{array}{l}a(t)y^{\prime \prime }(t)+b(t)y^{\prime }(t)+c(t)y(t)=0\\ y(t_0)=1\\ y^{\prime }(t_0)=0\end{array}$$

E $y_{\sigma 2}$ come soluzione di:

$$\{\begin{array}{l}a(t)y^{\prime \prime }(t)+b(t)y^{\prime }(t)+c(t)y(t)=0\\ y(t_0)=0\\ y^{\prime }(t_0)=1\end{array}$$

Tali soluzioni esistono grazie al teorema di esistenza e unicità globale per il problema di Cauchy. Verifichiamo adesso che $y_{\sigma 1}$ e $y_{\sigma 2}$ sono linearmente indipendenti assumendo per assurdo che $\exists c\ne 0$ tale che $y_{\sigma 1}(t)=c\times y_{\sigma 2}(t)\forall t\in I$. Per la definizione di $y_{\sigma 1}$ e $y_{\sigma 2}$ abbiamo che:

$$1=y_{\sigma 1}(t_0)=c\cdot y_{\sigma 2}(t_0)=c\cdot 0$$

Che è una contraddizione.

Per soddisfare la seconda condizione, sia ${\overline{y}}_{\sigma }$ una qualunque soluzione particolare e cerchiamo costanti $c_1,c_2\in \mathbb{R}$ per cui ${\overline{y}}_{\sigma }$ coincida con la funzione:

$$Z(t):=c_1{y}_{\sigma 1}(t)+c_2{y}_{\sigma 2}(t)$$

Che è soluzione per il principio di sovrapposizione per ogni $t$. Scegliamo $c_1$ e $c_2$ in maniera tale che ${\overline{y}}_{\sigma }(t_0)=Z(t_0)$ e ${\overline{y}}_{\sigma }{}^{\prime }(t_0)=Z^{\prime }(t_0)$, cioè poniamo:

$$\{\begin{array}{l}{\overline{y}}_{\sigma }(t_0)=Z(t):=c_1{y}_{\sigma 1}(t)+c_2{y}_{\sigma 2}(t)=c_1\\ {\overline{y}}_{\sigma }^{\prime }(t_0)=Z^{\prime }(t):=c_1{y}_{\sigma 1}^{\prime }(t)+c_2{y}_{\sigma 2}^{\prime }(t)=c_2\end{array}$$

E otteniamo $c_1={\overline{y}}_{\sigma }(t_0)$ e $c_2={\overline{y}}_{\sigma }(t_0)$. Quindi la combinazione lineare $Z(t)$ candidata a coincidere con ${\overline{y}}_{\sigma }$ è:

$$\overline{Z}(t)={\overline{y}}_{\sigma }(t_0)y_{\sigma }(t)+{\overline{y}}_{\sigma 1}^{\prime }(t_0)y_{\sigma 2}(t)$$

Concludiamo osservando che sia $\overline{Z}(t)$ che ${\overline{y}}_{\sigma }(t)$ sono soluzioni dello stesso problema di Cauchy:

$$\{\begin{array}{l}a(t)y^{\prime \prime }(t)+b(t)y^{\prime }(t)+c(t)y(t)=0\\ y(t_0)={\overline{y}}_{\sigma }(t_0)\\ y^{\prime }(t_0)={\overline{y}}_{\sigma }^{\prime }(t_0)\end{array}$$

E quindi per il teorema di esistenza e unicità globale del problema di Cauchy abbiamo che

$${\overline{y}}_{\sigma }(t)=\overline{Z}(t)\forall t\in I$$