Modelli di dinamica delle popolazioni

Modello di Malthus

Note

Si tratta di un modello di crescita delle popolazioni assumendo che la popolazione evolva isolata e i suoi fattori di evoluzione quindi siano esclusivamente la natalità e la mortalità. Indichiamo $N(t)$ il numero di membri della popolazione al tempo $t$, quindi:

$$N:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}_{+}:=\{r\in \mathbb{R}r\ge 0\}$$

Il tasso di natalità come $\lambda >0$ e il tasso di mortalità come $\mu >0$. Il modello è quindi:

$$N^{\prime }(t)=(\lambda -\mu )N(t)$$

Definendo $\epsilon =\lambda -\mu$ il tasso di potenziali biologica, allora l’EDO è equivalente a:

$$N^{\prime }(t)=\epsilon N(t)$$

Questa è un EDO a variabili separabili.

Example

Se $\epsilon =0$, allora è banale:

$$N^{\prime }(t)=0N(t)=c\ge 0$$

Se $\epsilon \ne 0$, allora usiamo il metodo a variabili separabili: La soluzione costante è:

$$N=0$$

Quando $N\ne 0$:

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{t_0}^t\frac{\text{ d}N}{N}={\int }_{t_0}^t\epsilon \text{ d}N\\ ⟹& [\log (N){]}_{t_0}^t=\epsilon (t-t_0)\\ ⟹& \log \left(\frac{N(t)}{N(t_0)}\right)=\epsilon (t-t_0)\\ ⟹& N(t)=N(t_0)e^{\epsilon (t-t_0)}\end{array}$$

L’integrale generale è:

$$N(t)\equiv 0t\in \mathbb{R},N(t)=N(t_0)e^{\epsilon (t-t_0)}t\in \mathbb{R}$$

Tip

Abbiamo trovato 3 comportamenti che dipendono da $\epsilon$ e $N(t_0)$:

1. $N(t_0)=0$ o $\epsilon =0$: abbiamo che la popolazione rimane costante.
2. $N(t_0)\ne 0$ e $\epsilon >0$: la popolazione cresce esponenzialmente
3. $N(t_0)\ne 0$ e $\epsilon <0$: la popolazione si estingue esponenzialmente

Equazione logistica

Note

L’equazione logistica (o modello di Verhulst) considera che il tasso di nuovi nati è sia proporzionale al numero di popolazione presente, ma anche all’ammontare di risorse disponibili:

$$N^{\prime }(t)=\lambda N(t)-g(N(t))$$

con $g$ una funzione opportuna, per esempio $g(N)=\sigma N^2$, dove $\lambda ,\sigma >0$, cioè:

$$N^{\prime }(t)=\lambda N(t)-\sigma N^2(t)$$