Introduzione al corso

Obiettivi dell'insegnamento

Il corso si propone di fornire il linguaggio ed i tradizionali elementi di base dell' Analisi Matematica, focalizzandosi in particolare sui seguenti argomenti, che costituiscono un bagaglio culturale imprescindibile all'interno di un percorso di studi in Ingegneria:

  • elementi di logica formale ed insiemi numerici;
  • successioni e serie numeriche;
  • calcolo differenziale e integrale per le funzioni reali di una variabile reale.

Conservando la tradizionale struttura logica su cui poggia il "calcolo", gli argomenti verranno presentati privilegiando l’aspetto costruttivo, senza tuttavia rinunciare al rigore necessario ad un uso critico e consapevole degli strumenti matematici nei problemi di ingegneria e delle discipline applicate.

Risultato di apprendimento attesi

Ci si attende che, al superamento dell’esame, lo studente:

  • Abbia compreso e conosca i principi fondamentali, la teoria e i concetti elementari dei Campi Numerici e dell’Analisi Infinitesimale (limiti, serie numeriche, derivate, studi di funzioni, integrali) (DdD 1);
  • Sia in grado di padroneggiare le tecniche proprie dell'Analisi Matematica di base e di applicarle ai problemi strettamente inerenti la materia, con il fine di poter poi individuare, nel corso della carriera accademica e professionale, le tecniche analitiche opportune per risolvere problemi matematici che si trovi a dover affrontare (DdD 2).

Argomenti trattati

1 - Insiemi Numerici
  • Richiami sui numeri naturali, interi, razionali. Il principio di induzione. Coefficiente binomiale, potenza n-esima di un  binomio. Numeri reali. Ordinamento e completezza. Potenze con esponente reale, logaritmi.
  • Numeri complessi. Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale di un numero complesso. Rappresentazione nel piano di Gauss. Operazioni sui numeri complessi. Radici n-esime di un numero complesso. Teorema fondamentale dell'Algebra.
2 -  Funzioni reali di una variabile reale

2.1 Generalità

  • Funzione; dominio, codominio, rappresentazione cartesiana. Successione. Funzioni iniettive, suriettive, biettive. Funzione composta, funzione inversa.
  • Funzioni reali di variabile reale: funzioni limitate, monotone,  simmetriche, periodiche.
  • Funzioni elementari.

2.2  Limiti

  • Definizione di limite di successione. Unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Teorema del confronto. Algebra dei limiti. Forme di indecisione. Esistenza del limite per successioni monotone. Il numero e. Limiti notevoli. Limiti di funzioni. Infiniti, infinitesimi e loro confronto: uso dei simboli di "asintotico" e di "o piccolo".

2.3  Continuità

  • Definizione, continuità in un punto, in un insieme. Punti di discontinuità e loro classificazione. Funzioni continue su intervalli: teoremi di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi.

2.4  Calcolo differenziale

  • Definizione di derivata e sue interpretazioni. Derivate di funzioni elementari. Continuità e derivabilità. Regole di derivazione. Derivata di funzione composta. Classificazione dei punti di non derivabilità. Massimi e minimi locali. Punti stazionari. Teorema di Fermat, teorema di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange. Teorema di De L'Hospital. Formula di Taylor con resto secondo Peano e con resto secondo Lagrange. Concavità e convessità. Continuità e derivabilità di funzione inversa. Studio  del grafico di una funzione. Primitiva, integrale indefinito.

2.5  Calcolo integrale

  • Integrale definito. Teorema della media. Funzione integrale. I e II teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione. Calcolo di aree piane.

2.6   Integrali generalizzati

  • Integrale generalizzato per funzioni illimitate su un intervallo limitato o definite su un intervallo illimitato. Criteri di integrabilità. Integrabilità assoluta e integrabilità semplice. Cenni alle funzioni integrali.
3 - Serie numeriche

Definizione di serie e prime proprietà. Serie geometrica, serie di Mengoli, serie armonica. Serie a termini non negativi: criterio del confronto, del rapporto, della radice. Serie a termini di segno qualunque: convergenza e convergenza assoluta. Criterio di Leibnitz.

Prerequisiti

Sono richieste le competenze di base fornite dalla scuola superiore. In particolare, è richiesta la conoscenza dei seguenti argomenti:

  • geometria analitica;
  • trigonometria;
  • logaritmi ed esponenziali;
  • equazioni e disequazioni (logaritmiche, trigonometriche, con valore assoluto).

Si suggerisce di visionare il MOOC di Pre-Calculus (qui) ideato dal Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano. Il corso copre la matematica di base, permettendo di colmare eventuali lacune e di mettere a punto la preparazione necessaria all'ingresso all'Università.