Regressione

Note

La regressione è la procedura usata per stimare la relazione tra dei dati in un insieme di dati discreto.

Regressione lineare LS

Note

Consideriamo la dipendenza lineare $y=mx+q$ di cui si vogliono ricavare i due parametri $m$ e $q$. Per il punto $i$-esimo di misura lo scarto ${\delta }_i$ tra il valore empirico $y_i$ e quello della curva di regressione $f(x_i)$ vale:

$${\delta }_i=y_i-[m{x}_i+q]$$

Dobbiamo trovare i valori dei parametri per i quali è minima la distanza:

$$\Phi (m,q)=\sum _{i=1}^n{\delta }_i^2=\sum _{i=1}^n[y_i-(m{x}_i+q){]}^2$$

Deriviamo quindi rispetto a $m$ e $q$ e le annulliamo.

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \Phi }{\partial m}& =0⟹\left(m\sum x_i^2\right)+q\sum x_i=\sum x_i{y}_i\\ \frac{\partial \Phi }{\partial q}& =0⟹\left(m\sum x_i\right)+nq=\sum y_i\end{array}$$

Otteniamo quindi un sistema risolvibile per sostituzione che si risolve come:

$$m=\frac{n\sum x_i{y}_i-\sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2-(\sum x_i{)}^2}$$ $$q=\overline{y}-m\overline{x}=\frac{\sum y_i-m\sum x_i}{n}$$