Richiami di probabilità e statistica

Note

La probabilità è una stima in termini numerici della possibilità di accadere un evento:

$$p\in [0,1]$$

Sia $x\in \mathbb{R}$ una variabile casuale:

La probabilità che:

$$P(a\le x\le b)={\int }_a^{b}p(x)\text{ d}x$$

Dove $p(x)$ è la funzione di densità di probabilità. Essa descrive il processo casuale considerato assegnando la probabilità per i possibili valori d’uscita. Esiste la proprietà:

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x)\text{ d}x=1$$

Esistono degli stimatori che ci consentono di conoscere, in senso statistico, alcuni parametri caratteristici del processo casuale. In particolare media e varianza permettono di stimare la tendenza centrale e la dispersione dei valori $x$ associabili a $x$.

Per quanto riguarda la media:

$$\mu (x)={\mu }_x=E\{x\}={\int }_{-\infty }^{+\infty }xp(x)\text{ d}x$$

Mentre la varianza:

$${\sigma }^2(x)={\sigma }_x^2=E\{[x-{\mu }_x{]}^2\}={\int }_{-\infty }^{+\infty }[x-{\mu }_x{]}^{2}p(x)\text{ d}x$$

Definiamo la deviazione standard come:

$${\sigma }_x=\sqrt{{\sigma }_x^2}$$

PDF normale

Note

È la PDF più comune per la descrizione della media di fenomeni casuali quali le misure:

$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{[x-\mu {]}^2}{2{\sigma }^2}}$$

Le aree sottese dalla curva PDF sono le probabilità di avere valori in un dato intervallo di valori sull’asse reale. Lontano dalla media $\mu$, rispetto a $\sigma$, la PDF diviene molto bassa e dunque le aree sottese sono molto piccole:

$$\begin{array}{r}1\sigma 68.27\%\\ 2\sigma 95.45\%\\ 3\sigma 99.73\%\end{array}$$

PDF uniforme

Note

Possiamo dire che:

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<a_0-a\\ \frac{1}{2}a& a_0-a\le x\le a_0+a\\ 0& x>a_0+a\end{array}$$

Il valore medio:

$$u(x)=E[x]={\int }_{-\infty }^{+\infty }xp(x)\text{ d}x=a_0$$

Mentre la deviazione standard:

$$\sigma (x)=\frac{\Delta x}{\sqrt{12}}$$

Dimostrazione valore medio

$$\begin{array}{rlr}\mu (x)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }xp(x)\text{ d}x={\int }_{a_0-a}^{a_0+a}x\frac{1}{2a}\text{ d}x& \\ & =\frac{1}{2a}{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_{a_0-a}^{a_0+a}=\frac{1}{2a}\cdot \frac{2a_{0}a+2a_{0}a}{2}& =a_0\end{array}$$

Dimostrazione deviazione standard

$$\begin{array}{rlr}{\sigma }^2(x)& =E[(x-\mu (x){)}^2]={\int }_{-\infty }^{+\infty }(x-\mu (x){)}^{2}p(x)\text{ d}x& \\ & ={\int }_{a_0-a}^{a_0+a}(x-a_0{)}^2\frac{1}{2a}\text{ d}x=\frac{1}{2a}{\left[\frac{(x-a_0{)}^3}{3}\right]}_{a_0-a}^{a_0+a}& \\ & =\frac{1}{2a}\left[\frac{a^3}{3}-\left(-\frac{a^3}{3}\right)\right]=\frac{a^2}{3}& =\frac{(\Delta x{)}^2}{12}\end{array}$$

PDF triangolare

Note

Possiamo dire che:

$$u(x)=a_0$$ $$\sigma (x)=\frac{\Delta x}{\sqrt{24}}$$