Misure indirette

Note

Una misura $Y$ è detta indiretta quando è calcolata genericamente come

$$Y=f(X_1,X_2,\cdots ,X_N)$$

Dalla conoscenza di $N$ grandezze. La funzione $f$ prende il nome di relazione funzionale. Saranno le incertezza degli ingressi, opportunamente “combinate”, a fornire l’incertezza dell’uscita:

$$u_C(y)=\Phi [u(x_i);f(\cdot )]$$

Incertezza composta

Note

Sviluppiamo $f$ come serie di Taylor al primo ordine. Per farlo definiamo i coefficienti di sensibilità, che sono costanti:

$$c_i\triangleq {\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)}_{\overline{y}}$$

Il coefficiente di sensibilità indica come varia il misurando $Y$ in corrispondenza di una variazione del parametro $X_i$ di dipendenza. Quindi l’incertezza di composta di una misura indiretta:

$$u_C(y)=\sqrt{\sum _{i=1}^N{c}_i^2{u}^2(x_i)+2\sum _{i=1}^{N-1}\sum _{j=i+1}^N{c}_i{c}_{j}u(x_i,x_j)}$$

In generale per ciascuna incertezza $u(x_i)$:

$$u_C(x_i)=\sqrt{u_A^2(x_i)+u_B^2(x_i)}=\sqrt{s^2({\overline{x}}_i)+u_B^2(x_i)}=\sqrt{\frac{s^2(x_i)}{n}+u_B^2(x_i)}$$

Casi particolari

Se la relazione funzionale è:

$$\overline{y}=n_1{\overline{x}}_1\pm \cdots \pm n_i{\overline{x}}_i\pm \cdots \pm n_N{\overline{x}}_N$$

Allora:

$$u_C^2(y)=\sum _{i=1}^N{n}_i^2{u}^2(x_i)$$

Se invece la relazione funzionale è:

$$\overline{y}={\overline{x}}_1^{n_1}\times \cdots \times {\overline{x}}_i^{n_i}\times \cdots \times {\overline{x}}_N^{n_N}$$

Allora:

$$u_{r,C}(y)=\sqrt{\sum _{i=1}^N{n}_i^2{u}_r^2(x_i)}$$