Voltmetri digitali

Note

I voltometri digitali sono impiegati per misurare e acquisire dati. Le caratteristiche tipiche sono la dinamica, il numero di cifre decimali, il numero di bit e la velocità di lettura.

Esistono due tipi di voltometri digitali:

• Differenziali (differenza tra tensione di ingresso e tensione di riferimento)
• Integratori (più accurati, mediano la tensione di ingresso)

La risoluzione dei voltometri è sia dimensionale ($\Delta V$) e adimensionale ($\delta$):

$$\Delta V=\frac{D}{N}\delta =\frac{\Delta V}{D}$$

Prestazioni dei voltmetri in base all’architettura

Note

|

$$\text{Letture}/s$$

  		  |
  		  $$
  		  1/\text{Incertezza}
  		  $$
  		   |
  		   $$
  		   \text{Tipologia}
  		   $$
  		    |
  | ------------------------------------- | ----------------------- | -------------------- |

| Alta: ordine dei $\text{Gsa}/s$ |

$$\frac{1}{10^{-3}}$$

     | Flash				|

| Media: ordine dei $\text{Msa}/s$ |

$$\frac{1}{10^{-5}}$$

     | Approx. successive   |

| Bassa: ordine dei $\text{sa}/\text{s}$ |

$$\frac{1}{10^{-7}}$$

     | integratori		  |

Voltmetri differenziali

Note

Un voltometro differenziale effettua la misura di una tensione incognita $V_x$ mediante il confronto diretto con una tensione di riferimento $V_r$ disponibile internamente allo strumento. La tensione $V_r$ è variabile e per generarla si ricorre ad una tensione $V_0$ di elevata accuratezza e stabilità. $V_r$ viene variata da $V_{x,\max }$ a $V_{x,\min }$ e si registra quel valore $V_r^{\ast }$ per cui l’uscita del comparatore commuta di livello. $V_r^{\ast }$ viene quindi inviata al display del voltmetro.

Voltmetro potenziometrico

Dove:

$$V_r=k{V}_0{V}_r^{\ast }=k^{\ast }{V}_0=V_x$$

La risoluzione di misura dipende dalla risoluzione del divisore potenziometrico (e passo del motore). La sensibilità di misura viene aumentata grazie all’amplificazione in ingresso, consentendo di rivelare segnali $V_x$ deboli con una maggiore insensibilità al rumore del comparatore. Generalmente ha una risoluzione bassa, una velocità bassa e un costo contenuto, infatti oggi risulta praticamente in disuso.

Voltmetro a rampa analogica

È una versione a stato solido (veloce e affidabile) del voltmetro potenziometrico. La risoluzione solitamente è di 4 o 5 cifre. Opera secondo una conversione tensione/tempo e la tensione $V_x$ viene misurata contando un certo numero di periodi di clock $T_c$ in un intervallo di tempo $\Delta T_G$ (che è proporzionale al modulo di $V_x$):

$$|V_x|=\frac{\Delta T_G}{\frac{T_{\text{rampa}}}{2}}{V}_m=\frac{2N_C{T}_C}{T_{\text{rampa}}}{V}_m$$

Il segno di $V_x$ si deduce invece da quale comparatore scatta prima. Molte volte l’errore può essere solo positivo, o solo negativo, risultato ad es. limitato all’intervallo $[0,T_C]$. Altre volte l’errore di quantizzazione si ha sia su $T_{\text{start}}$ che su $T_{\text{stop}}$: Da cui ricaviamo le formule:

$$\begin{array}{rl}& T_{\text{stop}}-T_{\text{start}}=\Delta T_G\propto |V_x|\\ & \Delta T_G=N{T}_C+e_1-e_2\\ & {\sigma }^2(\Delta T_G)={\sigma }^2(e_1)+{\sigma }^2(e_2)\\ & u(\Delta T_G)={\sigma }^2(\Delta T_G)=\sqrt{2}\frac{T_C}{\sqrt{12}}\end{array}$$

La rampa analogica varia linearmente da $-V_M$ a $+V_M$ con periodo $T_{\text{rampa}}=\frac{1}{f_{\text{rampa}}}$. Il tempo di misura è $T_{\text{mis}}=T_{\text{rampa}}$. Per una lettura con risoluzione $\delta =\frac{1}{N}=\frac{1}{2N_{c,\max }}$ dove $N_{c,\max }=\frac{N}{2}$ è il massimo valore di conteggi del contatore, deve essere

$$f_c=N\times f_{\text{rampa}}=2N_{c,\max }\times f_{\text{rampa}}⟹N=\frac{f_c}{f_{\text{rampa}}}$$

Di conseguenza:

$$\begin{array}{rlr}& \delta =\frac{1}{N}=\frac{\Delta V}{D}=\frac{T_c}{T_{\text{rampa}}}=\frac{f_{\text{rampa}}}{f_c}& \text{risoluzione}\\ & m={\log }_{10}(N)={\log }_{10}\left(\frac{f_c}{f_{\text{rampa}}}\right)& \text{ cifre decimali}\\ & n={\log }_2(N)={\log }_2\left(\frac{f_c}{f_{\text{rampa}}}\right)& \text{bit}\end{array}$$

La risoluzione migliora al crescere del rapporto $\frac{f_c}{f_{\text{rampa}}}$. Aggiungiamo infine che $p$ è la pendenza della rampa analogica:

$$p=\frac{2V_M}{T_{\text{rampa}}}\left[\frac{\text{V}}{\text{s}}\right]$$

Voltmetro a convertitore flash

È l’architettura di voltometro più veloce, raggiunge frequenza di conversione fino a $50\text{ GSa/s}$. Tuttavia la complessità circuitale cresce esponenzialmente con il numero di bit e si lavora quindi con una bassa risoluzione. Questo è il convertitore AD utilizzato negli oscilloscopi digitali, dove la risoluzione modesta non è un fattore limitante mentre la velocità è importante. La dinamica di misura viene suddivisa in $N=2^n$ livelli equispaziati ($\Delta V=\frac{V_{\max }}{2^n}$) utilizzando $N-1=2^n-1$ soglie (e comparatori). Tipicamente si lavora con $N=256$ livelli e dunque la risoluzione relativa è $\delta =\frac{1}{256}$. È usato per misure su segnali molto veloci ma con accuratezza limitata.

Voltmetro ad approssimazioni successive

È un convertitore DA a $n$ bit. Utilizza il metodo di bisezione: si confronta, a partire dal MSB al LSB, con $V_x$, e si decide se mantenere il bit a $1$ o riportarlo a $0$. La cifra meno significativa a peso $\Delta V=\frac{V_{FS}}{2^n}$, mentre la più significativa vale $\frac{V_{FS}}{2}$. Si eseguono $n={\log }_2(N)$ confronti, ciascuno di durata $m{T}_C$, con $2<m<5$. Il tempo di misura è fissato indipendentemente da $V_x$ e vale $T_{\text{mis}}=n{T}_{\text{confr.}}=n(m{T}_c)$. Il rumore differenziale può portare istantaneamente a errate decisioni sul singolo confronto, e dunque ad un errore di misura.

Voltmetri a integrazione

Note

In un voltmetro ad integrazione, il valore di misura dipende dal segnale (tensione) in ingresso secondo una relazione integrale:

$$V_m\propto \frac{1}{T_1}{\int }_0^{T_1}V(t)\text{ d}t$$

Sapendo che $V(t)=V_x+\underset{\text{Disturbo}}{\underbrace{V_d(t)}}$:

$$V_m(T_1)=\frac{1}{T_1}{\int }_0^{T_1}[V_x+V_d(t)]\text{ d}t=V_x+\underset{\text{deve essere nullo}}{\underbrace{\frac{1}{T_1}{\int }_0^{T_1}{V}_d(t)\text{ d}t}}$$

Se è nota la frequenza del disturbo, può essere utile scegliere un $T_1$ opportuno, ma, in generale, per $T_1$ lungo la reiezione al disturbo migliora.

Dimostrazione

Avendo un disturbo “sinusoidale qualsiasi” (con fase $\phi$ arbitraria) su un intervallo di integrazione sempre $T_1$ ma centrato su ”$t_0$ qualsiasi”, abbiamo che:

$$\begin{array}{rlr}& & \\ V_d(t)& =V_{d,0}\sin (2\pi ft+\varphi )& \\ V_{d,m}& =\frac{1}{T}\underset{t_0-\frac{T}{2}}{\overset{t_0+\frac{T}{2}}{\int }}{V}_d(t)\text{ d}t=\frac{1}{T}\underset{t_0-\frac{T}{2}}{\overset{t_0+\frac{T}{2}}{\int }}{V}_{d,0}\sin (2\pi ft+\varphi )\text{ d}t=& \\ & =\frac{V_{d,0}}{2\pi fT}\left\{\cos \left[2\pi f\left(t_0-\frac{T}{2}\right)+\varphi \right]-\cos \left[2\pi f\left(t_0+\frac{T}{2}\right)+\varphi \right]\right\}& \\ & & \\ & =\frac{V_{d,0}}{2\pi fT}2\sin (2\pi f{t}_0+\varphi )\sin (2\pi f\frac{T}{2})& \\ & =V_{d,0}\frac{\sin (\pi fT)}{\pi fT}\sin (2\pi f{t}_0+\varphi )& \end{array}$$

Massimizzandolo otteniamo:

$$V_{d,m}(T)=V_{d,0}\frac{\sin (x)}{x}F(t_0,\varphi )$$

Dove $x=\pi fT$, e $F(t_0,\varphi )=\sin (2\pi f{t}_0+\varphi )$.

Lavorando a $f$ e $T$ fissati, e facendo variare arbitrariamente $\phi$ e/o $t_0$, si ottiene per il disturbo integrato un valore efficace:

$$V_{\text{d,m,eff}}=\sqrt{⟨V_{d,m}^2(T)⟩}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{|\sin (x)|}{x}{V}_{d,0}\cong 0.7\cdot V_{\text{d,m,max}}$$

La trasmissione ($t$) e la reiezione ($r$) del disturbo, in ampiezza, saranno:

$$\begin{array}{rl}t& =\left|\frac{V_{d,m}}{V_{d,0}}\right|=\left|\frac{\sin (x)}{x}\right|\\ r& =\left|\frac{V_{d,0}}{V_{d,m}}\right|=\left|\frac{x}{\sin (x)}\right|\end{array}$$

La reiezione cresce (tendenzialmente) al crescere di $x$ e dunque di $f_d$ e $T_1$ e inoltre $r\to \infty$ se $f_d\cdot T_1=m$. Quindi la trasmissione di potenza del disturbo è:

$$T=t^2=\frac{{\sin }^2(x)}{x^2}$$

Mentre la reiezione in potenza del disturbo è:

$$R=r^2=\frac{x^2}{{\sin }^2(x)}{R}_{\text{db}}=10{\log }_{10}(R)=20{\log }_{10}\left|\frac{x}{\sin (x)}\right|$$

Si usa un circuito integratore: Dove:

$$\begin{array}{rl}{V}_C& =-Z_{C}I=-\frac{1}{j\omega RC}{V}_x=-\int \frac{V_x}{RC}\text{ d}t\\ I& =\frac{V_x}{R}\end{array}$$

Voltmetro a doppia rampa

Note

Da un punto di vista analitico $T_{\text{mis}}=T_u+T_d$ è una variabile che dipende da $V_x$ come nel rampa analogica:

$$\begin{array}{rl}& \\ T_u& =N_u{T}_c\\ V_0& =V_c(T_u)=-\frac{V_x{T}_u}{RC}\\ V_x& =-V_r\frac{T_d}{T_u}=-V_r\frac{N_d{T}_c}{N_u{T}_c}=-V_r\frac{N_d}{N_u}\end{array}$$

La misura è teoricamente insensibile a valori e incertezze di RC e agli altri parametri strumentali ($f_c$ e $T_c$), che pesano allo stesso modo su rampa di salita e discesa. L’incertezza di quantizzazione è:

$$u_q(V_x)=\frac{\Delta V}{\sqrt{12}}=\left(-\frac{V_r}{T_u}\right)\cdot \frac{T_c}{\sqrt{12}}=-\frac{V_r}{N_u\sqrt{12}}$$

ADC Pipeline

Note

La massima risoluzione ottenibile si aggira intorno a $24\text{ bit}$ da un minimo di $8\text{ bit}$ con frequenze che vanno da $1\text{ Msa/s}$ a $200\text{ Msa/s}$. Il tempo di latenza equivale al numero di conversioni $p$ moltiplicato per il tempo di conversione:

$$T_{\text{latenza}}=T_{\text{clock}}\cdot p$$