Strutture algebriche

Note

Un operazione interna -aria (operazione -aria): Ci interesseremo ai casi .
Come notazione si usa , però nei casi binari si può usare la notazione infissa .
Una struttura algebrica è una coppia dove è un insieme di operazioni interne ad .

Semigruppo

Note

Dove è un operazione binaria associativa: Se allora il semigruppo si dice commutativo.

Tip

L'associatività permette di "togliere le parentesi nei prodotti".

In un semigruppo è possibile definire la potenza -esima di : E valgono le usuali regole:

Error

non è , a meno che non sia commutativo, allora in questo caso .

Per i semigruppi commutativi, si usano i simboli . Inoltre, se in un gruppo commutativo : a volte lo si indica in notazione additiva con invece della notazione usata per i semigruppi non commutativi.

Teoria dei semigruppi

La teoria dei semigruppi è una teoria k con identità/uguaglianza più l'assioma di associatività dell'operazione interna binaria prescritta dalla lettera funzionale :

Monoide

Note

Una monoide è una struttura algebrica con operazione -aria scelta di un elemento di tale che:

  1. è un semigruppo
  2. è un identità (elemento neutro):
Tip

Un elemento neutro è unico: se sono elementi neutri allora :

Tip

Se poniamo allora le proprietà delle potenze viste prima possono essere estese .

Teoria dei monoidi

La teoria dei monoidi è una teoria con identità e e una costante e con gli assiomi:

  1. Assioma di associatività

Se non avessi voluto aggiungere la costante che mi descrive l'elemento neutro l'assioma diventa: Che è la forma di Skolem della precedente.

Gruppo

Note

Un gruppo è una struttura algebrica dove:

  1. è un monoide
  2. Esistenza dell'inverso: è detto inverso (sinistro e destro) di .
Tip

L'inverso è unico: se sono inversi di allora: Quindi, siccome l'inverso di è unico questo è univocamente determinato da , cioè c'è un un operazione interna unaria dove è l'unico inverso di , da cui si indica con .

Proprietà dei gruppi :

  3. In un gruppo l'equazione ha un unica soluzione
  4. Valgono le proprietà delle potenze:
    Warning

    In generale , a meno che è abeliano.

Sia , allora è un gruppo.

Teoria dei gruppi

La teoria dei gruppi è una teoria k con identità , assioma di associatività interpretato con e con assioma di identità e inversa: Se avessi usato la costante come elemento neutro, allora avremmo dovuto avere gli assiomi di associatività, di elemento neutro e:

È possibile semplificare gli assiomi precedenti usando il seguente teorema:
Se è un gruppo esiste elemento neutro sinistro/inverso e inverso destro/sinistro

Quindi la teoria dei gruppi viene semplificata in:

Anello

Note

Un anello è una struttura algebrica dove:

  1. è un gruppo commutativo con elemento neutro indicato con .
  2. è un semigruppo (detto moltiplicativo)
  3. Valgono le proprietà distributive:
Tip

Se è un monoide, l'anello è detto con unità. Inoltre se è commutativo allora si parla di anello commutativo.

Teoria degli anelli

La teoria degli anelli è una teoria k con identità , e con:

  • Assiomo di gruppo per e commutatività
  • Assioma di associatività per
  • Assioma di distributività:

Gli anelli hanno come proprietà:

  1. L'elemento neutro del gruppo è uno zero del semigruppo
  2. In un anello l'elemento neutro di è lo zero di . Inoltre
  3. In un anello privo di divisori dello zero, detto dominio d'integrità se e solo se valgono le leggi di cancellazione:
Zero di un semigruppo

Sia un semigruppo, un tale che: Si chiama lo zero di .

Divisori dello zero

In un anello due elementi si dicono divisori dello zero se

Corpo

Note

Un corpo è un anello in cui è un gruppo. Se questo è commutativo allora si chiama campo.