Date due strutture algebriche e e una funzione diciamo che preserva le operazioni e (della stessa arità) se:
binarie:
unaria:
-arie:
Se preserva tutte le operazioni tra e allora si chiama un omomorfismo tra le due strutture algebriche.
Se è .
Se e sono omomorfismo, allora è un omomorfismo.
Se è un isomorfismo, allora è un isomorfismo.
Criterio per gruppi
Se è di gruppi, è un omomorfismo se e solo se:
Criterio per anelli
Con e anelli, è un omomorfismo di anelli se e solo se:
Epimorfismo canonico
Note
Siano una struttura algebrica e una congruenza su tale struttura, esiste un importante epimorfismo: Viceversa dato un omomorfismo tra due strutture, possiamo definire: Una congruenza di .
Teorema di fattorizzazione
Note
Sia un omomorfismo, se e se con indico l'epimorfismo canonico, allora esiste unico il monomorfismo tale che: Inoltre se è epimorfismo, allora è isomorfismo.