Una funzione è una relazione binaria : Dato che per ogni , il associato è unico. lo si denota anche con il simbolo .
Tip
La matrice di adiacenza di una funzione ha la proprietà che in ogni riga c'è un solo .
Tipologie di funzioni
Composta (prodotto come relazione)
Se e sono funzioni, allora il prodotto è una funzione:
Inversa
Sia . La relazione è una funzione se e solo se è iniettiva e suriettiva (biunivoca). In generale se una funzione è biunivoca sappiamo:
Iniettiva e suriettiva
Sia una funzione. è iniettiva se e solo se esiste un inversa tale che: Inoltre è suriettiva se e solo se esiste un inversa tale che: Se ha inversa destra e sinistra allora
Mappa canonica associata
Note
Data una relazione d'equivalenza , esiste una funzione suriettiva, detta canonica tale che:
Nucleo
Note
Il nucleo di una funzione è la relazione tale che se .
Possiamo dire che se e solo se per qualche . Inoltre
Teorema di fattorizzazione
Teorema di fattorizzazione
Sia e sia . Allora se è la mappa canonica , allora esiste una funzione iniettiva tale che: Inoltre se è suriettiva, allora è biunivoca.