Sia un insieme di proprietà. La -chiusura di è una relazione tale che:
soddisfa
che soddisfa (Chiusura la più piccola possibile)
Tip
Se esiste allora è unica. Questo perché soddisfacendo le condizioni precedenti, dalla terza proprietà abbiamo
Tip
Se soddisfa allora la chiusura di è stessa.
Affinché abbia una -chiusura è necessario che:
con le proprietà tale che
L'insieme di proprietà è chiuso rispetto all'intersezione
Tip
Se allora ogni possiede la -chiusura
Tipologie di chiusure
Chiusura riflessiva
Data una relazione una chiusura riflessiva è tale che: La sua matrice di adiacenza sarà:
Chiusura simmetrica
Data una relazione una chiusura simmetrica è tale che: La sua matrice di adiacenza sarà:
Chiusura transitiva
Data una relazione una chiusura transitiva è tale che: La sua matrice di adiacenza sarà:
Chiusura riflessiva e simmetrica
Data una relazione una chiusura riflessiva e simmetrica è tale che: La sua matrice di adiacenza sarà:
Chiusura riflessiva e transitiva
Data una relazione una chiusura riflessiva transitiva è tale che:
Chiusura simmetrica e transitiva
Data una relazione una chiusura simmetrica e transitiva è tale che:
Chiusura riflessiva, simmetrica e transitiva
Data una relazione una chiusura riflessiva, simmetrica e transitiva è tale che:
In generale la chiusura antisimmetrica non esiste, a meno che non sia già antisimmetrica. Questa è detta chiusura d'ordine. Questa equivale alla chiusura transitiva e riflessiva se sia lei che la relazione sono antisimmetriche.