Teoria K

Note

Ha come sintassi delle FBF con solo . Utilizza gli stessi assiomi della teoria L assieme a: èInoltre ha come regole di inferenza:

  1. Modus ponens
  2. Generalizzazione:

Diciamo se esiste tale che: Dove ciascuna è assioma appartenente a oppure è ottenuta mediante una regola di inferenza da .

Per il teorema di correttezza a completezza forte la teoria K è:

  • Corretta:
  • Completa:
Tip

La teoria K è indecidibile.

Se , pensiamo a come degli assiomi di una teoria.

Teoria K con assiomi propri

Teoria con identità (uguaglianza)

Abbiamo bisogno di una lettera predicativa che catturi la relazione di uguaglianza: In una teoria simile possiamo definire il concetto di esistenza unica:

Teoria con identità dei numeri naturali

Prima formulazione assiomi di Peano:

  1. è un numero naturale
  2. Se è un numero naturale, allora ne esiste un altro detto successivo di
  4. Se
  5. Principio di induzione: se è una proprietà su che soddisfa:
    - soddisfa
    - se ogni volta che soddisfa , anche soddisfa
    Allora tutti i naturali soddisfano .
Assiomi teoria dei numeri naturali

Abbiamo come lettere funzionali e come costante :

Primo teorema di incompletezza di Gödel

Note

Se è una teoria del primo ordine che contiene l'aritmetica () e che sia consistente (cioè non produca sia che ), allora esiste una FBF tale che né né sono dimostrabili: e . Inoltre è un affermazione che è vera nella teoria dei numeri naturali.