Sottostrutture algebriche

Note

Sia $(A,\Omega )$ una struttura algebrica e $H\subseteq A$. Allora $(H,\Omega )$ è una sottostruttura algebrica se tutte le operazioni di $\Omega$ si restringono ad $H$. Cioè se $\ast \in \Omega$ allora $\forall h_1,h_2\in H{h}_1\ast h_2\in H$.

• $(H,\bullet )$ è sottosemigruppo di un semigruppo $(S,\bullet )$ con $H\subseteq S$ se e solo se $\forall a,b\in Ha\bullet b\in H$.
• $(H,\bullet ,e)$ è un sottomonoide del monoide $(M,\bullet ,e)$ con $H\subseteq M$ se e solo se $(H,\bullet )$ è sottosemigruppo di $(M,\bullet )$ e $e\in H$.
• $(H,\bullet ,e{,}^{-1})$ è un sottogruppo del gruppo $(G,\bullet ,e{,}^{-1})$ se e solo se $\forall a,b\in Ha\cdot b\in H$ e $\forall a\in H{a}^{-1}\in H$. Più comodamente lo è se e solo se $\forall a,b\in Ha\bullet b^{-1}\in H$.
• $(H,\oplus ,\odot )$ è un sottoanello dell’anello $(A,\oplus ,\odot )$ se:
  • $(H,\oplus )$ è un sottogruppo di $(A,\oplus )$
  • $(H,\odot )$ è un sottosemigruppo di $(A,\odot )$
• $(H,\oplus ,\odot )$ è un sottocampo/sottocorpo di $(A,\oplus ,\odot )$ se è sottoanello di $(A,\oplus ,\odot )$ e $(H\setminus \{0\},\odot )$ è un sottogruppo di $(A\setminus \{0\},\odot )$.

Tip

A volte invece di verificare se $(G,\odot )$ ha una certa struttura algebrica usando la definizione, è più conveniente trovare una struttura algebrica $(A,\odot )$ tale che $G\subseteq A$ che abbia quella struttura algebrica e poi usare i criteri di sottostrutture.