Relazioni di congruenza

Note

Data una struttura algebrica $(A,\Omega )$, una relazione $\rho \subseteq A\times A$ di equivalenza, si dice compatibile per $\ast \in \Omega$ se:

$$\forall a_1,a_2,b_1,b_2\in A{a}_1\rho b_1\text{ e }{a}_2\rho b_2{a}_1\ast a_2\rho b_1\ast b_2$$

Cioè se $[a_1{]}_{\rho }=[b_1{]}_{\rho }$ e $[a_2{]}_{\rho }=[b_2{]}_{\rho }$ allora $[a_1\ast a_2{]}_{\rho }=[b_1\ast b_2{]}_{\rho }$. Se $\rho$ è compatibile con tutte le operazioni di $\Omega$ allora si chiama congruenza.

Struttura quoziente

Note

Data una struttura algebrica $(A,\Omega )$ e una relazione di congruenza $\rho \subseteq A\times A$, per ogni operazione binaria $\ast \in \Omega$ possiamo definire una nuova operazione binaria interna su $A/\rho$:

$${\ast }_{\rho }:A/\rho \times A/\rho \to A/\rho$$

Definita da $[a{]}_{\rho }{\ast }_{\rho }[b{]}_{\rho }:=[a\ast b{]}_{\rho }$.

Tip

È ben definita, quindi non dipende dai rappresentati delle classi d’equivalenza.

Definiamo quindi la nuova struttura algebrica $(A/\rho ,{\Omega }_{\rho })$ dove:

$${\Omega }_{\rho }:=\{{\ast }_{\rho }:\ast \in \Omega \text{ definite come in precedenza}\}$$

Tip

Si dimostra che la struttura quoziente $(A/\rho ,{\Omega }_{\rho })$ è dello stesso tipo di $(A,\Omega )$.