Processi di Poisson

Note

Un processo di Poisson può essere vista come l’estensione a tempo continuo di un processo di Bernoulli. Questo è definito come:

Un processo di Poisson ha omogeneità temporale, nello specifico l’intensità degli arrivi è costante nel tempo:

Siano il numero di arrivi in e il numero di arrivi in , si ha che:

Inoltre il numero di arrivi in un intervallo di tempo infinitesimo deve essere nullo. Se la funzione di probabilità degli arrivi è:

Possiamo dire che:

E quindi:

Distribuzione del numero di arrivi in un intervallo di tempo

Note

Siano il numero di arrivi in un intervallo . Si ha che:

Da questa ricaviamo la legge di Poisson:

La legge di Poisson ha la caratteristica di avere:

Inoltre si ha:

Distribuzione del tempo al -esimo arrivo

Note

Sia il tempo trascorso al -esimo arrivo di un processo di Poisson. è una variabile aleatoria continua. Possiamo dire che:

In questo caso si dice che:

Si ha che:

Si ha che:

Inoltre in generale si ha che:

Con variabili indipendenti e identicamente distribuite e .

Somma di due variabili aleatorie di Poisson indipendenti

Note

Consideriamo un processo di Poisson . Si ha che su questo la somma di due variabili aleatorie indipendenti di Poisson è una variabile aleatoria di Poisson con parametro somma dei parametri di partenza:

Merging di processi di Poisson indipendenti

Note

Siano due processi di Poisson e . Siano il numero di arrivi nel processo di Poisson unito, allora:

Il processo di Poisson risultate sarà

Splitting di processi di Poisson

Note

È possibile dividere un processo di Poisson in più processi. Per farlo, si ha che:

Si ha che i processi risultanti avranno omogeneità temporale, cioè l’intensità degli arrivi è indipendente dal tempo:

Incidenza casuale per processi di Poisson

Note

Consideriamo un processo di Poisson, e lo osserviamo a partire da un tempo casuale. La distribuzione della lunghezza dell’intervallo di tempo che trascorre tra arrivi consecutivi a cavallo dell’istante di tempo scelto è:

Approssimazione Poissoniana della Binomiale

Note

Sotto l’ipotesi di avere costante, possiamo approssimare:

Inoltre, per :