Variabili aleatorie discrete

Note

Definiamo una variabile aleatoria (VA) come una funzione:

Per indicare le variabili aleatorie si usano lettere maiuscole, mentre si usano le lettere minuscole per indicare i valori numerici da loro assunte.

I valori numerici delle variabili aleatorie prendono il nome di realizzazione.

La composizione di una variabile aleatoria con una funzione generica è ancora una variabile aleatoria.

Legge di probabilità

Note

Definiamo la legge di probabilità di una generica variabile aleatoria come:

La legge della probabilità soddisfa sempre tutti gli assiomi delle probabilità, inoltre si ha che:

Funzione indicatrice

Definiamo la funzione indicatrice come:

Dove è un predicato qualsiasi. Questa è utile per indicare le leggi di probabilità con dominio non totale.

Legge di probabilità geometrica

Definiamo una generica variabile aleatoria come geometrica se e solo se:

Legge di probabilità binomiale

Definiamo una generica variabile aleatoria come binomiale se e solo se:

Dove è il numero di prove indipendenti, mentre è la probabilità di successo della singola prova.

Siano due eventi generici , con e . Possiamo indicare:

Si ha inoltre che:

Valore atteso

Note

Definiamo il valore atteso di una legge di probabilità come:

Questa è quindi la media pesata delle realizzazioni, dove i pesi sono le probabilità. Possiamo anche interpretare come il baricentro della legge di probabilità.

Proprietà del valore atteso

Sia una variabile aleatoria e , con . Si ha che:

Questa è detta legge dello statistico inconsapevole.

Si ha inoltre che se una generica è lineare in , allora:

In caso non sia lineare questa proprietà non è valida.

Siano due eventi generici , con e . Possiamo dire che:

Varianza

Note

Definiamo la varianza di una variabile aleatoria come:

Momenti della variabile aleatoria

Definiamo il momento di ordine della variabile aleatoria come:

Definiamo inoltre il momento centrato di ordine come:

Si ha che:

Inoltre, in generale:

Scarto quadratico medio

Definiamo lo scarto quadratico medio di una generica variabile aleatoria come:

Legge della perdita di memoria

Note

Si ha che per variabile aleatoria geometrica discreta, vale:

Come conseguenza diretta si ha che:

Legge dell’aspettativa totale

Note

Siano partizioni di . Si ha che: