Funzioni di variabili aleatorie

Note

Sia una variabile aleatoria con legge di probabilità . Sia inoltre , con constanti note e . In generale, si ha che:

Metodo diretto

Sia , con funzione nota, deterministica e strettamente monotona. Siano inoltre due eventi e . Espandendo il secondo evento con Taylor possiamo dire che:

Possiamo quindi dire che:

E di conseguenza:

Quindi:

Ricordando che è strettamente monotona, si ha che , e quindi:

Legge della somma di variabili aleatorie

Note

Siano due variabili aleatorie discrete, con . Sia inoltre . Si ha che:

Questa è detta somma di convoluzione. Nel caso siano variabili aleatorie continue indipendenti, si ha che:

Questo è detto integrale di convoluzione.

Calcolo della somma di convoluzione per via grafica

In primis, si sovrappone graficamente le 2 leggi di probabilità. Si “ribalta” poi una delle due leggi, e si trasla di posizioni (verso destra se , verso sinistra altrimenti) la legge “ribaltata”. Infine si moltiplica e sommano le probabilità.

Si ha che la convoluzione di due variabili aleatorie indipendenti uniformi con stesso supporto , si la funzione risultante avrà forma triangolare con vertici , e .

Legge congiunta di due variabili aleatorie Gaussiane indipendenti

Note

Sia , e quindi:

Che è una campana tridimensionale centrata in .

Studiandone le curve di livello, e quindi imponendo:

Otteniamo degli ellissoidi, e nel caso otteniamo delle circonferenze.

Somma di due variabili aleatorie Gaussiane indipendenti

Note

Siano due variabili aleatorie indipendenti, e . Abbiamo che:

Abbiamo nello specifico che:

In generale, si ha che la somma di due variabili aleatorie Gaussiane è Gaussiana.

Covarianza

Note

Siano e due variabili aleatorie. Definiamo la loro covarianza come:

Si ha che . Inoltre per , si ha che: .

Coefficiente di correlazione lineare

Definiamo il coefficiente di correlazione lineare come:

Si ha che , in particolare se allora . Inoltre:

Varianza della somma di variabili aleatorie

Note

Siano delle variabili aleatorie. Introducendo , possiamo dire che: