Calcolo delle probabilità

Note

Definiamo come la probabilità di un generico evento . Si hanno i seguenti assiomi:

Da questi assiomi si ricavano proprietà come , .

Unione di una infinità di eventi disgiunti

Si ha che:

Spazio campionario

Note

Definiamo lo spazio campionario come l’insieme di tutti i possibili risultati dell’esperimento aleatorio.

Ogni elemento di è detto elemento elementare.

Si ha che ha le seguenti proprietà:

• Mutua esclusività degli eventi elementari
• Esaustività dei risultati

È insensato assegnare probabilità a singoli eventi elementari, tuttavia ha senso assegnarle a sottoinsiemi di .

-algebra

Si dice -algebra di una famiglia di sottoinsiemi di , detta tale che:

Una -algebra di è quindi l’insieme dei suoi sottoinsiemi misurabili.

Si ha che è uno spazio numerabile.

Un evento è quindi un sottoinsieme misurabile dello spazio campionario , ed è pertanto un sottoinsieme della -algebra. Si usa per la loro notazione le lettere maiuscole.

Teorema delle probabilità totali

Note

Siano degli eventi. Si ha che:

In caso siano disgiunti allora la formula si semplifica in:

Si ha quindi che la probabilità è proporzionale all’area della regione :

Forma discreta

Sia un evento elementare di , allora:

Si ha che data una legge di probabilità uniforme discreta, e dato un evento :