Basi ortogonali e ortonormali

Note

Un insieme in uno spazio euclideo si dice ortogonale se per ogni e con . Un insieme in uno spazio euclideo si dice ortonormale se è ortogonale e per ogni (versore).

Tip

Sia , essendo gli insiemi ortogonali/ortonormali sempre linearmente indipendenti sono basi di .

Algoritmo di Gram-Schmid

Note

Per calcolare una base ortonormale partendo da una base qualsiasi si può usare questo algoritmo ricorsivo, detto processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmid.

Example
  1. Scegliere una base dello spazio
  2. L'insieme è un insieme ortogonale.
  3. Dividendo per il modulo si ottiene una base ortonormale

Matrici e spazio ortogonale

Note

Una matrice quadrata si dice ortogonale se Se e sono due vettori colonna allora .
Una matrice è quindi ortogonale se e solo se le sue colonne formano una base ortonormale di .

Si ha che

B-espansione di un vettore

Note

Sia una base ortonormale di uno spazio euclideo e un vettore, allora la -espansione del vettore viene definita come

Vettore delle coordinate e matrice di trasformazione lineare ortonormale

Note

Sia una base ortonormale di uno spazio euclideo , allora il vettore delle coordinate di nella base è Se è uno spazio euclideo e è una trasformazione lineare, allora la matrice di in una base ortonormale è data da

Decomposizione ortogonale di un vettore

Note

Se è un sottospazio di uno spazio euclideo , allora e questa viene definita decomposizione ortogonale di rispetto a .

Conseguenze della decomposizione ortogonale

Proiezione ortogonale

Note

Se è una matrice x allora Se è un sottospazio di uno spazio euclideo, allora ogni si decompone in modo unico come La trasformazione lineare definita ponendo è detta proiezione ortogonale su .

Matrice di proiezione

Note

La matrice di nella base canonica è detta matrice di proiezione su .
Se è una base ortonormale di , sappiamo che . Sia la matrice , allora la matrice di proiezione su è .

Per essere una matrice di proiezione ortogonale è necessario:

  • Essere simmetrici:
  • Essere idempotenti:
  • Vale la relazione

Autovettori ortogonali

Note

Se è una matrice quadrata di ordine simmetrica reale e sono due autovettori di relativi ad autovalori distinti allora e sono ortogonali.

Se la matrice non è simmetrica allora la base di autovalori sicuramente non è ortogonale.

Teorema spettrale

Note

Una matrice reale quadrata di ordine è simmetrica se e solo se esiste una base ortonormale di formata da autovettori di . In particolare ogni matrice reale simmetrica è diagonalizzabile.

Sia una matrice quadrata, allora esiste una matrice ortogonale tale che è diagonale se e solo se è simmetrica.

Quindi per il teorema spettrale