Base di spazio vettoriale

Sia uno spazio vettoriale finitamente generato, allora:

• ha una base e tutte le basi di hanno lo stesso numero di elementi.
• Ogni insieme linearmente indipendente in è contenuto in una base di .
• Ogni insieme di generatori di contiene una base.

1. Sia uno spazio di dimensione finita, se è un sottospazio di allora anche è di dimensione finita e .
2. Sia uno spazio di dimensione finita, se è un sottospazio di e allora .
3. Sia uno spazio di dimensione finita, se sono linearmente indipendenti in allora .
4. Sia uno spazio di dimensione finita, se generano allora .
5. Sia uno spazio di dimensione finita, se sono linearmente indipendenti e allora è una base di .
6. Sia uno spazio di dimensione finita, se generano e allora è una base di .

Se è una matrice indichiamo con le righe di e con le colonne di .

Lo spazio riga di è lo spazio generato dalle righe di , mentre lo spazio colonna di è lo spazio generato dalle colonne di .

Se sono sottospazi di uno spazio allora lo spazio somma è un sottospazio.

Se sono sottospazi di uno spazio allora lo spazio intersezione è un sottospazio.

Si dice che uno spazio è somma diretta di due sottospazi se La notazione della somma diretta fra e è: .

Se è un sottospazio di uno spazio , un complemento di è un sottospazio tale che .

Sia , allora, dato possiamo scrivere in modo unico con e . Il vettore è detto la proiezione di su relativa alla somma diretta .

Vale la seguente formula: