Sistemi lineari

Note

Considero un sistema di equazioni in incognite:

La matrice prende il nome di matrice dei coefficienti
Il vettore colonna prende il nome di vettore di termini noti.
Il vettore colonna prende il nome di vettore delle incognite.

La matrice completa di un sistema è .

I sistemi possono essere:

omogenei ():
- Se sono soluzioni del sistema anche è soluzione.
- Se è soluzione del sistema, allora anche è soluzione.
non omogenei.
- La soluzione sarà in formato:

Matrice a gradini

Una matrice si dice a gradini se il pivot di ogni riga è in una colonna successiva a quella del pivot della riga precedente, con pivot si intende il primo elemento non nullo di una riga della matrice. Allo stesso modo un sistema è definito a gradini se la sua matrice completa è a gradini.

Numero di soluzioni di un sistema

Note

Diremo che una matrice ha soluzioni se ha almeno una soluzione e . Se un sistema ha soluzioni all'ora l'espressione descrive tutte le soluzioni in k parametri, ed è detta soluzione generale del sistema.

Teorema di Rouchè-Capelli

Note

Sia una matrice e si consideri il sistema lineare di equazioni e incognite . Il sistema ha soluzione se e solo se

Metodo di Cramer

Note

Sia una matrice quadrata di ordine , allora il sistema crameriano ha un'unica soluzione se e solo se .

Sistema crameriano

Un sistema di equazioni e incognite è detto crameriano. Se un sistema crameriano è tale che allora ha un unica soluzione.

Procedimento del metodo di Cramer:

Consideriamo il sistema crameriano tale che
Considero il vettore colonna
Allora l'unica soluzione si calcola con dove è la matrice che si ottiene sostituendo alla -esima colonna di il vettore .